Soit
l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes ; «, j$; a', les coordonnées des deux points cherchés. La somme des distances de ces points à un point quelconque
x, y, de la courbe, .sera exprimée par
S — [/ (ar — «) 2 -\-(,y — j3) 2 “H V' a?— «OHKï— i 5 ' J 2 i
développant , et substituant à la place de y sa valeur tirée de l’équation de l’ellipse , on aura
+ 1/ ^(1— ^)-2a'^H-«' 2 +/3' 2 +A 2 -2p^lÆ=^.
Pour que cette somme soit constante , c’est-à-dire indépendante de la variable x, il faut 1° que les expressions des distances soient rationnelles , ce qui exige que /S=0 et (5'=0; 2° que les trinômes en x résultant de la substitution de ces valeurs soient des carrés parfaits ; 3° enfin que les coefficients de x soient égaux et de signe contraire ; ce qui fournit les conditions nouvelles
a xx. — a i
et
La dernière relation donne , toute réduction faite , a xx dt (/ a 2 — b 2 ;
les deux points cherchés se trouvent donc sur le grand axe de l’ellipse, à une distance du centre exprimée parla valeur précédente de «.
La somme revient à S== 2 * 2 -\-b 2 xi2 \/ a 2 — b' 2 -j- b 2 — 2a et est égale par conséquent au grand axe.
Cette définition des foyers est plus simple et plus analy-
tique que la définition généralement .adoptée, et qui n’est pas complète: car la distance du foyer à un poiut quelconque de la courbe n’est une fonction rationnelle et linéaire del’abcisse de ce point que lorsque l’ellipse est rapportée à ses axes.
