HL— I
ill— l -
d’où l’on tire
j 'y b\a-\-p] l —vï<i l + Y b^a- P y-a^r\
B=^ [/a\b + qf-by -|- \Za\b-( } y-h\
217. Soit DD', TT' (fig. 17), la directrice et la tangente données ; M le point de contact ; menez QMQ' perpendiculaire à DD', et faites l’angle TMF=T'MQ'; puis sur MF prenez MF=MQ : le point F sera le foyer; GF, perpendiculaire à DD', sera l’axe , et le point A , milieu de FG, le sommet de la parabole demandée.
218. Première solution. — Soit A (fig. 18) le sommet donné , IT la tangente commune ; x , y , les coordonnées inconnues d’un foyer F, rapportées aux axes rectangulaires AX, AY, ce dernier étant parallèle à la tangente.
Si l’on suppose menée la droite FP, perpendiculaire à la tangente , les droites PA et AF seront perpendiculaires entre elles , d’après la propriété connue de la parabole. Cela posé , si l’on désigne par ( — a, 0) les coordonnées du point I, et par ( — a, y ) les coordonnées du point P, la droite AF aura pour équation
et la droite AP,
La condition de perpendicularité de ces droites donnera tout d’abord l’équation du lieu géométrique demandé ; en effet, on a
d’où
équation d’une parabole dont le paramètre est égal à a.
Deuxième solution. — On peut appliquer à ce problème une méthode plus générale, ainsi qu’il suit :
Soit '
(y+f*) +Dy+E*=:0 (A)
l’équation générale d’une parabole , l’origine des axes rectangulaires étant en un point quelconque de la courbe.
Pour exprimer que ce point est le sommet de la parabole il faut et il suffit qu’en changeant convenablement les axes
rectangulaires, l’équation, transformée à l’aide des formules
x=.r'cos a — y'sina , y^rx'sina-f-y'cosa , puisse être ramenée à la forme
y ,i =2 px'.
On obtient en effet ,
(cûsa — T siiia) 2 y ,2 4-2(sina+-2 cosa)(cosa — ^ sina).T’y'|
-f- ( sina -f- Ysin«) 2 x' 2 -(-(D cos a -
+(D sina +E cosa) x'
et les équations de condition sont
E sina) y'
sina-(— -cosa-f-0, Dcos« — Esina = 0;
d’où
E ÏT'
Maintenant si l’on prend pour axe des x la perpendiculaire AX abaissée sur la tangente IT , l’axe des y sera parallèle à cette tangente ; et, pour exprimer que IT est tangent à la parabole, il faut qu’en substituant x = AI = — « dans l’équation (A), réduite à la forme suivante
qui exprime que l’origine des axes rectangulaires est au sommet de la parabole , on obtienne pour y deux valeurs égales. Effectuant la substitution, et résolvant par rapport à y, on trouve
AJ U J J , J. , . . . . - - - ■ -■*-
V — — |/»(Ba-D) ;£ -(B*aï-8u;«,
248 SOLUTIONS DEVELOPPEES/
et par conséquent
B(Ba — D) 2 — B 3 a 2 — 8aD = 0 ;
d’où
et les coordonnées du point de contact seront
Cela posé, si x, y, représentent les coordonnées du foyer, en observant que l’équation du diamètre de la parabole est
v BX— D
on trouvera facilement que l’équation de l’axe est
et par conséquent on aura pour première relation
L’équation de la directrice passant par le point — x, — y t perpendiculairement à l’axe , sera
yrfy= b (*!+*)•
Il ne reste plus qu’à exprimer que les distances du point x ly y„ à la directrice et au foyer, sont égales , ce qui donne l’équation de condition
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SOLUTIONS DEVELOPPEES.
qui se réduit, à cause de l’équation (1) , à
d’où, après une première réduction, on obtient
(o-hr) V' (a-\-x)~x 2 y~-\-\xy 2 — x xy
ensuite
On ne peut admettre le signe -(- , qui donne pour résultat (y 2 -(-2Æ î )a=0.
Mais en prenant le signe — on obtient x{y~—ax)=0,
équation résolue soit par x— 0, parallèle à la tangente menée par le point A , sommet donné , soit par y 2 — ax—0 , résultat précédemment trouvé.
226. Soit O (fig. 19) le centre donné; MT, NS, RR', les trois tangentes données : on mènera à égale distance du centre les droites M'T', N'S', parallèles à MT, NS; et le problème reviendra à inscrire dans un parallélogramme donné IIIKL une ellipse tangente à une droite donnée RR'.
La courbe peut être une hyperbole.
227. Soit DD' et TT' (fig. 20), la directrice et la tangente communes données; au point de rencontre O de ces droites menons OX perpendiculaire à la directrice , et prenons OD'Y, OX, pour axes des coordonnées.
Soit «, /3, les coordonnées du sommet A d’une des pa-
raboles qui répondent à l’énoncé , et 2 p le paramètre de cette parabole. Si x', y représentent les coordonnées du point de contact de cette parabole avec la tangente donnée TT f , on aura
OG=AD=«, OD=ÀG=(3, OH=r', MH=ÿ,
et par suite
MP=(y-j-(3), AP=(x' — a),
D’après les propriétés connues de la parabole on a MP 2 — 2p. AP , AT=AP, AF=AD, MF=MQ=DP ;
