SF FM FM FM

SX ÂfD PX" PS-j-SX ’

■d’où l’on conclura

SX=

SF.SP FM — SF '

Pour construire cette valeur, faites SK 2 =rSF.SP; portez FM en FG; sur SG décrivez une demi-circonférence, et portez SK en SH, ensuite menez IIX perpendiculaire -à SG.

Pour trouver l’autre sommet, sur FX décrivez une demicirconférence , menez ST perpendiculaire à FX, et par le point T, la tangente TS r , qui déterminera le second sommet S' par sa rencontre avec SF.

SOLUTIONS DEVELOPPEES.

258. Soit la ligne droite fixe APX (fig. 23) prise pour axe des x, et pour axe des y la droite correspondante à la position qu’occupe le point donné M lorsque ce point et le centre du cercle mobile sont sur une même droite perpendiculaire à la droite fixe.

Lorsque le cercle mobile sera parvenu en A.' par exemple , d’après l’énoncé de la question on devra avoir

AA' = arc A 'a;

de plus la droite ACM aura pris la position acm. Soit donc AP=.r , mV—y, arc aA'—AA'=z, AC=r, CM=rf.

Si l’arc aA'=z, l’angle ach! sera égal à^, et l’on aura

AP = A A f -|- A’P = arc a A'— J— Rot , x = Rw -f- arc a A'.

De même

»mP=A'R=: A'c — cR, ou y—r — cR.

Or mR=emsinmcR=cmsin (200° — acA')=d sin-^-,

cR=cm cos mcR=cm cos (200° — acA')= — dcos - j donc x=rfsin arc^dont le sinus =^,

y— t — d cos -•

De la 2 e équation on tire

co s - = — — t — ,

sin ;=|/ r 1 —cos 2 ^ == ; •

or a= arc aA'=r(arc dont l’angle ~~) ou r [arc (-^)] dans

solutions développées: . 255

a circonférence dont le rayon =1, et par conséquent

. X=z V'd 1 — [y- rf — f- r arc^sin = — - -

équation du lieu géométrique demandé.

Si d~r, l’équation , réduite à la forme

x=. [Siry— y* -|- rare ^sin =: — — j ,

représente la cydoïde ordinaire dans la position adoptée dans les problèmes de mécanique.

On peut établir différentes hypothèses pour la valeur de d. Si d— — r, on a l’équation de la cycloïde , l’origine des axes étant à l’un des points de rebroussement , c’est-à-dire à l’origine du mouvement.

245. Soit F, D'D et M, le foyer, la directrice et le point donnés : abaissez FP et MQ perpendiculaires sur la directrice, et joignez MF ; prenez sur la ligne indéfinie FP les

deux points A et A' tels que les points A

et A' seront les sommets ; le point O, milieu de AA', sera le centre , OA le demi-grand axe , et la courbe sera déterminée.

L’élève démontrera l’exactitude de cette construction.