Soit a 2 yy , -\-b 2 xx'z=:a 2 b
l’équation d’une tangente à l’ellipse dont l’équation rapportée à son centre et à ses axes est
a 2 y' 2 -\-b 2 x' 2 =za 2 b 2 .
y=ccx,
y—cdx,
les équations de deux diamètres quelconques.
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
Si l’on désigne , pour fixer les idées , par x h , y, ; x % , î/ 2 , les coordonnées des points d’intersection de ces diamètres avec la tangente , on trouvera sans peine
ClWa
a 2 ay'-\-b 2 x ’
2 aVy' -\-b z x
d’où l’on tirera pour l’expression des segments
V{x>—x, )*+(»'— y, Y = ~Jlyr^ y b 2 X , V ’aV^+AV 2 — S ,
y (*'—-■ g J 2 +(y'— y») 2 = â 2 « , ÿ , +Av ^ a4y,2 + &V2 —
Si les diamètres sont conjugués , on aura la relation
* - substituant dans l’expression de S r la valeur de tirée de * la relation (D), et réduisant , on obtient , abstraction faite du signe ,
d’où enfin
CCI ay 2 +iV 2
— dW- ’
résultat indépendant de a .
La longueur du demi-diamètre dont l’équation est y=a'x est exprimée par
Si « r = — ^7 , c’est-à-dire si le diamètre est parallèle à
la tangente, ou, autrement dit, conjugué à celui qui passe • par le point de contact , on aura
tv. 2 qy 2 +&y 2
Ce qui démontre le théorème.
D’ailleurs on a aussi , à cause de a*y' 2 =a x b* — a*b 2 x 12 , a* b 2 — a 2 b 2 x' 2 -\-b*x a a 4 — eV 2 / a 2 -\-cx\ fa 2 — c’x\
en désignant par r, r 1 , les rayons vecteurs menés des foyers au point de contact ; donc enfin
SS' = D' 2 = rr',
Cette propriété se démontre de la même manière pour l’hyperbole.
Elle sert à déterminer graphiquement les axes quand on connaît un système de diamètres conjugués de grandeur et de position.
28o. Soit x le côté cherché ; le volume du tétraèdre régulier en fonction du côté est
Or un gramme d’argent vaut-fr.; et, la densité de l’argent étant représentée par 19, le poids du tétraèdre sera exprimé par •
i9.x 3 yî
et son prix par
yiï
oogle
258 SOLUTIONS DEVELOPPEES. ,
! On aura donc, pour déterminer x, la relation
■Pi
d’où
x étant exprimé en centimètres.
256. Soit A a j/ 9 +B a x 3 =A 3 B s , l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes; A a i/y , +B a ^x'=A a B a l’équation de la tangente au point x\ y', de la courbe, pour lequel on a la relation
A 2 y 2 -f" BV 2 = A 2 B 2 . (1)
Si l’on fait successivement x=0, y=0, dans l’équation de la tangente , on trouve
* et, en désignant par l la longueur donnée, on aura, d’après l’énoncé , x 0 , et par conséquent
Les équations (1) et (2) serviront à déterminer les coordonnées du point de tangence cherché.
L’équation (2) donne
/ 2 æ' 2 )4-BV ï =0;
et, substituant dans cette équation la valeur de y ,a , tirée de l’équation (1), on obtiendra
51 (A 2 — ar' 2 )(A 4 — /V 2 ) -j- BV 2 =0,
et , toute réduction faite ,
d’où
,.=±Al/^
Cette expression étant de la forme J/" a-\-V b et la relation a a — b=k 2 étant satisfaisante , on en tire facilement
En répétant le9 mêmes calculs d’élimination pour trouver la valeur de y, on obtient
Des valeurs (M) et (N) on conclut que la valeur de / doit être plus grande que A-f-B , ou tout au plus égale à cette somme ; ce qu’on pouvait prévoir, d’après le procédé connu de construction de l’ellipse , au moyen d’une droite de longueur constante A-f-B, mobile dans chacun des quatre angles formés par les axes perpendiculaires.
On pourra construire la valeur de x de la manière suivante :
Sur le grand axe prendre OL=l (fig. 24), et décrire sur 1 A'L et AL deux demi-circonférences ; porter OB=A'B' en A 'b', AB"=:OB en A b", et joindre L b’, Lb" ; enfin, porter U" en LD et LD' ; et b'D' et b’ D seront égales à la somme ou à la différence des radicaux.
Par le point O mener O pd parallèle à b' D, et achever le parallélogramme Db'od-, joindre Ld, et mener Ax parallèle à D d; prendre le milieu de Ox, et porter op en OP : le point P correspond à l’une des abscisses demandées.
Pour la somme des radicaux on effectuera la construction analogue à la précédente.
