Soit

Ay-fBV=A 2 B 2 . .

l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes ,

Digitizi

l’équation d’une sécante quelconque menée par le foyer positif. Eliminant entre ces équations, afin de déterminer les points.de rencontre de la sécante et de la courbe, on obtiendra successivement

k 2 a\x — c) 2 -)-BV = A 2 B 2 , (AV-j-B 2 )# 2 — 2À 2 a 2 c 2 x = A 2 (B 2 — a 2 c 2 ) ;

d’où

"• A Vc±AB kVcAV'i-l-B 2

et , à cause de c 2 =A a — B 2 ,

A 2 a 2 c±;AB 2 \/ \ -f-a 2 .

d’où l’on déduit sans difficulté

r— bv+ab 2 l/ï+ân y a L A 2 a 2 -j-B 2 J '

Si l’on désigne par x u x 3 -, y t , i/ 2 , les valeurs des coordonnées des points d’intersection , comprises dans chacune des doubles valeurs précédentes, et par 2m la longueur de la corde donnée , telle que

(x—x ^) 2 -f (y— y^ 2 =Um\

on trouvera , à cause de

2AB 2 P / l+^ r 1 x 2— A 2 a 2 -fB 2 *

2AB 2 « l/r-ÜT 2

l’équation finale cherchée

’ 2AB2 ( 1 +^ -2m

av+b 2 “* ZWl ’

qui déterminera l’inconnue a du problème.

266 SOLUTIONS développées;

On trouve en effet, par un calcul facile ,

Si m= A , on trouve a=0 ; en effet , dans ce cas la sécante

se confond avec le grand axe.

Si m=—, on obtient a~ oo -, et, en effet, l’ordonnée du foyer est égale au demi-paramètre.

Si m = B, il vient a = ± [/ — . »

Au lieu de la tangente de l’angle que la sécante doit faire avec le grand axe , on pourra déterminer le sinus à l’aide de la relation

tanga

sina — , . ;

\/ l-l-tang^a 7

et l’on obtiendra, toute réduction faite ,

sina = HZ — 1 /

Cette expression peut se mettre sous la forme Csina = — m) ,

et se construira sans difQculté.

279. SoitDD' la directrice donnée, ST la tangente, M le point : le foyer se trouvera sur une circonférence décrite du point donné M comme centre avec un rayon égal à la distance MQ de ce point à la directrice. Soit I le point de rencontre de la tangente et de la directrice : ce point sera à égale distance du foyer et du point où la parallèle à l’axe menée par le point de contact devrait rencontrer la directrice ; donc la droite IF est inclinée sur la tangente de la même manière que celle-ci sur la directrice ; donc le foyer sera facilement déterminé.

Deux solutions.

idby

284. Soit AB (fig. 28) la base donnée , RR' la droite donnée , 21 la somme donnée -, par le point O , milieu de AB , prenez OI=OH=/ : le sommet du triangle devra se trouver à la fois sur la droite donnée RR' et sur l’ellipse dont IH est le grand axe et A et B les foyers.

En supposant le problème résolu , soit C le sommet cherché.

Si, après avoir décrit sur IH comme diamètre une demicirconférence, et élevé par le point A une perpendiculaire AM qui la rencontre en M , on mène à cette circonférence la tangente MT, le point de rencontre E de MT et de IH , prolongées s’il est nécessaire , sera un point de la directrice DD', laquelle sera déterminée de position.

Cela posé , si l’on abaisse CP, perpendiculaire sur la directrice, on aura, d’après la propriété connue de l’ellipse,