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duit de la distance du centre à une tangente quelconque par une moyenne proportionnelle entre les rayons menés des foyers au point de contact est constante et égale au rectangle des demi-axes , et plus généralement au quart de la surface de tout parallélogramme circonscrit à la courbe et construit sur deux diamètres conjugués.

On sait que le produit des rayons vecteurs menés des foyers au point de contact est égal au produit des segments de la tangente compris entre le point de contact et les points où la tangente rencontre les axes ; de plus , que la moyenne proportionnelle entre ces deux segments est égale à l’ordonnée du cerclé qui passe par les extrémités de la tangente et par le centre de l’ellipse , laquelle ordonnée est dirigée suivant la normale à l’ellipse au point de contact ; on pourrait par conséquent, d’après celte remarque, énoncer le théorème précédent d’une manière un peu différente, en n’employant que le rectangle de deux droites déterminées.

308. Première manière. — Soit 2p le paramètre donné ; x’, y', les coordonnées inconnues du point donné M , rapportées aux axes ordinaires de la parabole ; / la distance du point donné M au sommet donné A ; « la tangente inconnue de l’angle que fait AM avec l’axe de la parabole : on aura

,v ' =± / cos MAX = r—J= ;

éliminant x' et if entre ces trois équations, on obtient,

* 2p (pdz

valeur que l’on construira sans difficulté et qui déterminera la direction de l’axe de la parabole.

On en déduira la directrice , le foyer , etc. Le problème □’a que deux solutions.

Deuxième manière. — Si par le point M on mène une perpendiculaire indéfinie à AM, on aura évidemment

De là cette construction :

Sur AM, comme diamètre, décrire une demi-circonférence. Au point M, sur la droite AM, mener la perpendiculaire indéfinie MH, sur laquelle on prendra MN=2p, paramètre donné ; sur MN, comme diamètre , décrire une circonférence ; joindre le point A et le centre O par une sécante, qui rencontrera celte circonférence en deux points .P et Q, tels que AP ou AQ seront les longueurs des abscisses du point M; alors il suffira de porter la corde AP ou AQ dans la première circonférence, à partir du point A, et la direction de l’axe sera déterminée.

Le reste comme précédemment.

514. — 1° Si le centre et un point de la circonférence sont indiqués, on mesurera la distance de ces deux points inaccessibles en prenant une base arbitraire , selon la méthode connue.

2° Si le centre seul est indiqué , on mesurera l’angle que fait le rayon visuel tangent à la circonférence avec la droite qui joint le point d’observation et le centre du bassin. Le sinus de cet angle exprimera le rapport du rayon du bassin avec la distance du point d’observation au centre , et cette distance étant facile à mesurer, on en conclura la longueur du rayon.

3° Si aucun point n’est indiqué, on déterminera troits points d’observation d’où le bassin soit vu sous le même angle; le centre du cercle passant par ces trois points sera le centre du bassin , et le problème sera ramené au précédent.

SOLUTIONS DEVELOPPEES.

5iG. Soit met ?i les degrés de réquation proposée et de l’équation primitive, on doit avoir la relation

=i>, d’où m = l J±2EE ,

car m est essentiellement positif. Les conditions nécessaires • sont donc :

1° que \/ l-J-8« soit une quantité rationnelle si m est ra-

tionnel

2° que so j t un nom 5 re entier si m est un

nombre entier.

La première condition peut être exprimée par