f-8 n=y 2 ; d’où

relation à laquelle on satisfera seulement en ^donnant à y toutes les valeurs des nombres impairs

d’où n = l, 3, 0, 10

' Et la seconde condition sera exprimée par

=zt, nombre entier; d’où m — 2, 3, 4, 5

degrés correspondants aux degrés des équations aux carrés des différences

On reconnaît dans les valeurs de n les nombres des 'termes des carrés des monômes, binômes, trinômes , etc.'

517. Soit ABC le triangle donné; i, II, les coordonnées du point A ; 0, 0, celles du point B ; a, 0, celles du point C : on aura pour liquation de condition, en désignant par 5c, y,

les coordonnées d’un des points du lieu géométrique,

[(y-*) 2 -K«-«) 2 ] a+(V 2 +* 2 )l / fc 2 -Ka-*) 2 + [y 2 4-(*— 0> 2 ] cube donné.

Développant , et réduisant, on trouvera, en faisant, pour abréger,

^/»H-(a— iy=b , K/t 2 -i-* 2 =c ,

(y-7iSpy+( a -

h}—ac(a-\-c) , aVi 2 -\-c\i-\-cY

a-\-b-\-c ' ( a-\-b-\-cY 1

équation d’un cercle dont le centre est au point dont les coordonnées, faciles à voir d’après la forme de cette équation, ne sont autre chose que les coordonnées du centre du cercle inscrit au triaDglc.

On déterminera facilement le rayon dans chaque cas par- , ticulier.

On peut déterminer le rayon par la condition que k 5 soit une fonction donnée des côtés; et réciproquement, le rayon étant donné, on déterminera la quantité k 5 .

52i>. Soit 2p le paramètre inconnu; x', y les coordonnées inconnues du point de contact, la parabole étant rapportée à son sommet ; a la tangente connue de l’angle que la tangente fait avec l’axe : on aura les relations

$=«.. y”=2p*'; mm

et, d et x étant l’ordonnée connue et l’abscisse inconnue du point donné , on a de plus

d 2 =2px. (3)

Enfin désignant par b la distance du pied de l’ordonnée du point donné au point où la tangente rencontre l’axe, on aura encore

28*2 'solutions développées.

On tire de cés quatre équations

Menant par le point donné une parallèle à la tangente , v. et désignant par l la distance du point où elle rencontre Taxe au pied de l’ordonnée de ce point donné , on aura

et le problème revient à déterminer les deux côtés contigus d’un rectangle dont on connaît la somme b et la surface

.520. Ellipse passant par l’origine. On en lire

Et par conséquent ses diamètres conjugués sont déterminés de direction par les équations

et leurs longueurs par les valeurs des coordonnées du centre

Connaissant un système de diamètres conjugués de grandeur et de direction , on construira facilement la courbe.

535. L’ellipse étant rapportée à son centre et à ses axes, le grand axe étant pris pour axe des abscisses , on aura , ^

Ay-f B 2 .r 2 =A 2 B 2 ,

équation de l’ellipse ; et , en désignant par a l’angle de deux cordes supplémentaires , comme A* — B a =c s ,

tang«=-

SOLUTIONS DÉVF.LOPPÉES. 283

d’où l’on conclut que dans la demi-ellipse correspondante au grand axe les angles supplémentaires sont tous obtus.

. La tangente étant négative, l’angle sera d’autant plus grand que sa tangente sera plus petite ; d’où il suit que le

maximum de l’angle a pour taugente

-y-, et correspond a

l’angle dont le sommet est à l’extrémité du petit axe.

En prenant pour axe des abscisses le petit axe de l’ellipse, et désignant par a' l’angle de deux cordes supplémentaires, on aura

tango