Soit
xiJ rpx 2 -{-qx-{- r= o
l’équation générale du 3 e degré. Si a et —a sont ces racines , le premier membre de l’équation sera divisible par x*— a 2 . Effectuant cette division , le reste
(q-\-a 2 )x-{-(r-\-pa 2 )
devra être égal à zéro indépendamment d’aucune valeur de xj et par conséquent
y-f-a 2 =0, r-\-pa 2 = 0.
Eliminant a 2 entre ces équations , on obtiendra
r—pq— 0 ,
relation demandée.
De plus les deux racines seront az=z± et la troi-
sième x= — p.
54G. Prenant pour axes des coordonnées les axes fixes, et désignant par a, b , c, les trois côtés du triangle donné ; par x, y, les coordonnées variables du sommet A j par a, Oj 0, p, les coordonnées aussi variables des deux autres sommets B et C, qui s’appuient sur les axes fixes, on aura les équations
éliminant a et p entre ces trois équations, on trouve pour l’équation finale cherchée
( A2 + c — qr2xKÂ5=p=:0.
Développant celte équation, on obtiendra une équation du r t a dér.omnosable en deux facteurs du 2 e degré ,
Ce dernier cas particulier est facile à reconnaître. En
Si l’on a en même temps A=100°, b — c, on trouve
et de là ce théorème :
Si l'on fait tourner un carré sur deux axes fixes rectangulaires de manière qu'il reste constamment appuyé sur ces axes par deux de ses sommets, son centre restera conslamment sur la bissectrice de l’angle des axes.
Si A<100°, l’équation (F) donnera
D’ailleurs le demi-diamètre conjugué dirigé suivant l’axe des y a pour longueur
effet, si A=100°, on a a 3 =£> 2 -t-c a , et l’équation (F) donne
■» K - Jsin - x dz— COSÀ \/ c* — x l
J ce
On construira le diamètre
dont les extrémités auront pour coordonnées
y 1 sssbsvà\ i r . Vi — — bsmk.
y Q — h cosÂ
fc
Connaissant nn système de diamètres conjugués de grandeur et de direction, on construira la courbe sans difficulté.
Nous laissons au lecteur le soin de construire l’byperbolc correspondante à A>100°.
547. On appelle directrice des courbes du 2 e degré une droite telle que le rapport des distances de chaque point de la courbe au foyer et à cette droite est constant.
Soit M un point de l’ellipse dont l’abscisse est x : la distance de ce point au foyer est exprimée par
