Soit
A%'-j-BW = A 2 B 2 , A 2 yy" -j- B 2 .r.r" = A 2 B 2 ,
Ay’4 Bv 2 = A 2 B 2 ,
Ay 2 -)-B 2 x' 2 =A 2 B 2 ,
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
x”, y", et les équations de la courbe pour chacun de ces points. Les diamètres passant par les points de contact étant conjugués , on aura , d’après la relation connue ,
aa’
, BV£- ^ A 2 y'y" U ‘
Eliminant entre ces cinq équations les indéterminées x', x", y", on trouvera sans difficulté
Ay-)-BV=2A 2 B 2 ,
équation d’une ellipse concentrique dont les axes sont 2A J/ 2 , 2B , et par conséquent semblable à la proposée. On trouverait un résultat analogue pour l’hyperbole.
366. IT, II 7 (fig. 32), étant les tangentes données , O et M les points de contact, joindre OM, et, par le milieu A , mener IA, qui déterminera la direction de l’axe de la parabole. Du point O menant OX parallèle à IA, les droites OX, OYT, formeront un système d’axes conjugués.
Pour déterminer le paramètre du diamètre OX , mener MP parallèle à OY ; porter MP en OG -, mener GI1 parallèle à OY, et qui rencontre en II MO prolongée : GH sera le paramètre. En effet les triangles semblables MOP, GOH, donnent
PM OP OP ,, , PÏP^HG.OP
HG OG — MP » d OU (^=2 px) ’
et par conséquent HG=2p.
567. La directrice étant donnée, la direction de l’axe transverse sera déterminée.
Soit a la tangente de l’angle que fait la tangente donnée avec cette direction , t la tangente de l’angle que fait l’asymptote avec cette même direction , A et B les demi-axes de l’hyperbole j et, enfin, x y', les coordonnées inconnues
du point de Contact : on aura
BV B
Par le point de rencontre D de l’asymptote et de la directrice menons, perpendiculairement à la directrice une droite, qui rencontre la tangente donnée en K; et, I étant le point de rencontre de la tangente et de l’asymptote , soit fait DI=c , DK=ô : on aura pour relation
On sait en effet que la directrice rencontre l’asymptote à une distance du centre égale au demi-axe transverse , et A 2
que — représente la distance de ce même centre au point
où la tangente coupe l’axe transverse.
Enfin pour les points de contact x 1 , y', on a l’équation
Ay 2 BV 2 = — A 2 B 2 ; (4)
éliminant x’, y’ et B, entre les quatre équations (1) , (2) , (3) et (4), on obtiendra, toute réduction faite,
\S «V — /Vzpaô
On prendra en même temps le signe supérieur ou le signe inférieur.
Après avoir construit cette double valeur de A, on la portera sur l’asymptote à droite et à gauche du point D.
372. Soit A'B'C' (fig. 33) le triangle demandé, égal au triangle donné ABC, et dont les côtés A'B\ A'C', B f C f , passent chacun par un des points donnés O, P, Q.
Les sommets A' et B' se trouveront sur des segments capables des angles 200°— A, 200°— B, et le problème revien-
dra à mener par le point d’intersection O des deux circonférences données une sécante OA'B', telle que la différence A'B' des cordes comprises soit d’une longueur donnée AB.
Passons à la résolution de ce problème :
Soit , en supposant le problème résolu , OA'B' (fig. 34) la sécante demandée , telle que OB' — OA'=2 /, longueur donnée ; des centres G, G', menant les perpendiculaires G I, G'H,
on aura OI=| OB', OH=^ OA', OI-OH=-^(OB'-OA)=/;
menant GK parallèle à OA'B', on aura GK=IU = f , et le triangle GKG' sera déterminé.
Donc, sur GG', distance des centres, décrire une circonférence , sur laquelle on portera du point G une corde G K ou GK', égale à la moitié de la longueur donnée , et les sécantes OA'B', OA"B", parallèles à GK, GK', satisferont à l’énoncé.
Çe problème a encore deux autres solutions , que l’on trouvera de la manière suivante :
Décrire un cercle symétrique à G' par rapport au point 0 et tangent à ce cercle en ce même point. Soit G" le centre de ce cercle ; faites sur les cercles G et G" la même construction que précédemment, et les deux sécantes obtenues par ce moyen répondront encore à la question.
Il suit de cette analyse que le premier problème est susceptible de 12 solutions généralement.
575. Première manière. — Soit a; et y le rayon de (a base et la hauteur du cylindre , B le rayon de la sphère et V le volume donnés , on aura les relations
rr.T 2 y=Y,
• ^ ec
■Vi
TT
Cette équation servira à déterminer y, et par suite on connaîtra x par l’une ou l’autre des équations (1) et (2).
Quant au volume maximum des cylindres inscriptibles dans la sphère , on peut le tirer directement de cette même équation (3); il suffit pour cela de chercher la condition pour que cette équation n’ait qu’une seule racine réelle positive et une seule racine négative , deux des trois racines étant alors égales; or, en prenant l’équation générale de la forme
on sait que cette condition est remplie lorsque
comparant les équations (2) et (3), et ayant égard à la condition (c), on obtiendra
sKs’
et les valeurs correspondantes de x et y,
Deuxième manière. — On peut parvenir au même résultat en observant que les valeurs de x et de y sont données par les intersections de l’hyperbole cubique (1) et du cercle (2), lesquelles courbes peuvent se rencontrer en deux points, se toucher, ou n’avoir aucun point commun, selon les différentes valeurs attribuées à Y, et que par conséquent le maximum de la valeur V correspondra au contact des deux courbes.
Pour exprimer que les courbes (1) et (2) se touchent , il suffit d’exprimer qu’elles ont une même tangente. Soit donc x, y, les coordonnées du point de contact; les équations des
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tangentes seront
et puisque ces tangentes se confondent en une seule et même droite, on aura
^= — , d’où y 2 = 2x>,
xy y ’
et par suite
YJ'
4;rR 3
zYT'
375. Mener deux droites indéfinies sous l’inclinaison donnée , diviser les angles adjacents en deux parties égales, et la direction des axes de l’hyperbole sera déterminée.
1° Si 4A 2 -f- 4 B 2 est donné , porter ± (/a 2 -{-B 2 sur l’axe transverse , et les foyers seront déterminés. Ou bien encore porter p / A 2 -j-B 2 sur l’une des asymptotes , toujours à partir de leur point de concours, et de l’extrémité de cette distance abaisser une perpendiculaire sur l’axe transverse , la grandeur des axes sera connue. ^
2° Si 4 A 2 — 4B 2 est donné, comme on connaît aussi ^ , on déterminera aisément A et B , etc.
