Soit

A»/+B.r!/-|-Cx 2 -t-D=0, Ay-(-B'xy-f-C'a: 2 -f-D':=0 ,

les équations des deux courbes , rapportées à deux axes quelconques. Ces équations peuvent être ramenées à la forme

ay 2 -f-2ixy-(-c3r 2 -}-l=0, a'y 2 — }— 2A'a?y -f- c'or 2 — f- 1 = 0 ,

et donnent par soustraction

(a — a') y 1 - {- 2(i — b ') xy -\ - (e — c')x 2 = 0 ;

d’où

équations de deux lignes droites passant par l’origine.

On voit par ce résultat que les quatre points d’intersection des courbes proposées sont les sommets d’un parallélogramme inscrit à la fois dansles deux courbes , et par conséquent les droites menées par le centre commun parallèlement aux côtés du parallélogramme forment un système de diamètres conjugués commun aux deux courbes.

Le problème revient donc à trouver les points d’intersection d’une courbe du 2 e degré avec une droite passant par son centre , problème déjà résolu.

Soit

fia n a — 1 1

les équations de deux ellipses’ rapportées à leur centre et à leurs axes; on rapportera la seconde courbe aux mêmes axes que la première en substituant dans l’équation (2) les valeurs connues

;r'=;rcosa — ysina, y r = arsjna-|-ycos« ,

qui servent à passer d’un système d’axes rectangulaires à un autre système d’axes rectangulaires de même origine , «. représentant l’angle que font entre eux les grands axes des ellipses; et l’on obtiendra pour l’équation transformée de la seconde ellipse

/C08 2 cc , sin 2 oA , ./sinacosa sînacosA . /cos 2 * . sin^xN 0 A

(— ■ p-MCïs r+'M-> 2 - 1 =°; W

les équations (1) et (3) donnent , par soustraction ,

/cos 2 tt ain 2 a 1 \ / 1 i \ , /cos 2 * . sin 2 « IN,

— p->- Ss,n ““K^-pw(-Vï~+ ■w~âr) xa °-

d’où l’on tire

pî)±V»hi , “C0»2«(4 r -L') 2 — (2jj£ co. 2 a , sin 2 « 1

sin 2 a 1 ^ /cos a « , sin 2 oc 1 ^

~ffî W

équation de doux lignes droites, que l’on pourra contruire , après les avoir simplifiées.

577. Soit F, A, M, les points donnés; joignez AF par une droite indéfinie et abaissez MP perpendiculaire sur cette droite. Supposant la position de la directrice connue , soit DD f perpendiculaire à AF , et MQ perpendiculaire à DD f , on aura, d’après la propriété de la directrice,