Soit
l’équation de l’ellipse rapportée à son centre , point d’intersection des diagonales du losange , et à ses axes, dirigés suivant les mêmes diagonales , dont la longueur est exprimée par 2c, 2 d.
En considérant un des côtés quelconques, tangent à la courbe au point x', y’, on aura les relations
et substituant les valeurs de x’ et y', tirées'de ces équations, dans l’équation de la courbe
ay 2 -f-cV 2 —
on trouvera , toute réduction faite ,
De plus, d’après la condition de l’énoncé , on a
Et l’on obtient , en combinant les équations (2) et (3) , les valeurs
qui détermineront les longueurs des demi-axes. Les axes sont égaux à la moitié des diagonales des carrés construits sur les diagonales du losange.
Il est facile de se convaincre au surplus que l’ellipse demandée touche en leurs milieux les côtés du losange.
586. Soit F le foyer donné , 2A, 2B, les axes, TT' la tangente.
Du foyer F menez FP perpendiculaire à la tangente. Du point F, comme centre , et d’un rayon égal à |/a 2 — B 2 , décrivez une circonférence ; du point P comme centre , et d’un rayon égal à A, décrivez une seconde circonférence. Le centre de l’ellipse sera un des points d’intersectipn de ces deux circonférences.
387. Soit T et T' les tangentes communes, C le centre commun donné , et F un des foyers des courbes qui satisfont à l’énoncé ; si de ce point on abaisse les perpendiculaires FP, FP', sur les tangentes T et T'; puis, qu’on mène CP, CP', CF j et parle centre C les droites CQ, CQ', parallèles aux tangentes et qui rencontrent les perpendiculaires FP , FP', aux points Q et Q', on aura, d’après la propriété des triangles obliquangles ,
CF 2 =CP 2 -|-FP 2 — 2FP.PQ, CF 2 — CP"' 2 ~f- FP' 2 — 2FP'.P'Q'J
et si l’on observe que
fF= (FQ -f PQ) 2 =FQ 2 -(-PQ 2 -f 2F Q- p Q > 2FP.PQ=2PQ(FQ-fPQ)=2PQ.FQ-f2PQ 2 ,
et qu’en même temps CP=CP'=a, demi-axe transverse de la courbe qui répond au foyer F, on aura, en faisant CF=d, PQ =zh, P ’Q!=h',
d 2 =a 2 -fFQ 2 — A 2 , <fca 2 -f-FQ' 2 — A' 2 ,
d’où l’on lire
FQ 2 — FQ |2 = h 2 — A' 2 ;
et le problème revient à trouver le lieu géométrique des points tels que la différence des carrés de leurs distances à deux droites données soit constante et égale à un carré donné (k* — k' a ).
SOLUTIONS DEVELOPPEES. 305
Soit CQY , CQ'X, les droites données prises pour axes, faisantentre elles un angle quelconque 0, et(x, y) un point F du lieu géométrique demandé.
La distance de ce point aux axes sera évidemment
FQ = :rsiii0, FQ'=ysin0;
d’où l’on tirera sans difficulté
«équation d’une hyperbole équilatère, qui a pour asymptotes les bissectrices des angles adjacents des droites don- • nées.
On pourra aussi construire facilement les diamètres égaux de l’hyperbole , dirigés suivant les droites CX , CY $ ensuite les asymptotes ; et par conséquent on déterminera les axes de grandeur et de direction.
De là on peut déduire facilement la solution du problème suivant :
Déterminer directement les foyers d’une courbe du 2 e degré qui a son centre en un point donné et assujettie à être tangente à trois droites données.
Les foyers seront à l’intersection de deux hyperboles équilatères concentriques construites d’après la méthode précédente.
5811. Supposant l’hyperbole construite , et désignant par x', y’, les coordonnées du point de contact, par À et B les demi-axes, par P et p les perpendiculaires abaissées du sommet sur l’asymptote et sur la tangente , enfin par a la tangente de l’angle de l’asymptote et de la tangente , on aura les relations
„ AIPQ'-A)
V |/AV 2 +B 4 a?' 2 ’
* tp
BV B+flA
A 2 y' A— Ba’
À 2 y' 2 — BV 2 =— A ,2 B 2 .
On ramènera le système de ces quatre équations
au système
des deux suivantes :
AB
P 2 B(A— aB) 2 = 2 A 2 P/»(B+aA)|/ï+^ r — A 2 B^ 2 (l+a 2 ), qui serviront à déterminer A et B.
592. Supposant le problème résolu , joignez les points donnés A et B par la droite AB, qui rencontre en O la droite donnée RR' (fig. 37). Soit XY la corde donnée : on aura , en désignant par 2/ cette longueur,
