A’-W^ =4AB
le rectangle construit sur les axes.
591». De quelque manière que ces courbes soient situées dans le plan , on peut toujours construire une troisième courbe concentrique .à la première , et égale ou semblable et semblablement située par rapport à la seconde. Les deux courbes concentriques se coupent en quatre points, qui déterminent un parallélogramme, et les droites menées par le centre parallèlement aux côtés du parallélogramme forment un système de diamètres conjugués commun aux courbes concentriques, et par conséquent aux deux courbes proposées. *
310 SOLUTIONS DEVELOPPEES.
Cela posé les équations des courbes seront de la forme
Ay-fBy=A 2 B 2 , (1)
Or la tangente en un point quelconque de la courbe (1) sera
A 2 îy-j-Byr=A 2 B 2 ;
d’où '• #
En désignant par a, p, les coordonnées d’un des points de rencontre des tangentes , l’équation de la polaire de ce point sera
d’où
V ~~ A' 2 (A — P) X *~ A l2 (b—p) ' vV
Egalant les coefficients des équations (3) et (4), on aura
B 2 A |2 B' 2 +A' 2 A(A— s)-j-B’ 2 rt(a— «) //îS
d’où l’on tire par une élimination facile
Et, substituant ces valeurs dans l’équation (1), on obtiendra*# toute réduction faite , l’équation du lieu géométrique de-
mandé
A' 4 B 2 (A-p) 2 -j-A 2 C' 4 (a-a) 2 =[A' 2 B' 2 +A' 2 A(i-j3)-|-B' 2 a(a-a)] 2 A 2 B 2 , équation du 2 e degré.
Le lieu géométrique est donc une courbe du 2 e degré.
39C. Première solution. — Si l’on prend le sommet donné À pour origine des axes rectangulaires , et l’axe des abscisses passant par le point donné M , l’équation d’une parabole quelconque sera de la forme
(s'+tT+ D 3'+ E *=°- (P)
De plus , si l’on désigne par a l’abscisse du point M, on aura pour première relation entre les coefficients B, D, E,
et il restera encore à exprimer que le sommet de la parabole est à l’origine.
Pour cela il faut et il suffit qu’en changeant convenablement la direction des axes coordonnés, l’équation résultante puisse être ramenée à la forme ij ,i =2px r .
Substituant dans l’équation générale les formules de
transformation
tf=#'cosa — y'sina , yr=r.r'sina-f-y'co9o( , (A)
on obtiendra, toute réduction faite,
(cosa — ^sin«) 2 y l2 -f-2(.sina-{- — cos«)(cos« — £-sina);ry ]
— f-(sin«-J— — cosa) 2 a;' 2 -|-(Dcosa— Esin«)y’-f-(Dsina — Ecosa)*')
et par conséquent on aura les relations
(sin«-|- — cos«)(cos« — — sina) — 0,
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
sina-|- 2 ~cosa)^ 0 ,
* (Dsina — Ecosa) = 0.
Les équations (1) et (3) rentrent l’une dans l’autre; au surplus il est facile de se convaincre que l’équation (2) donne la valeur de tang2a que l’on tirerait de la valeur de tanga fournie par l’équation (3).
Cela posé , l’équation transformée prend la forme
,, Dsina -(-Ecosa ,
(cosk — — s in a ) 2
Or, sous cette forme la parabole a pour foyers le point dont les coordonnées sont
, „ , 1 (Dsina-J-Fcosa)
Qcosa — -sina/
Mais des équations (A) on tire sans difficulté
a^=arcosa-[-ysina , y’=ycosa — arsina,
et par conséquent les équations précédentes deviennent
ycosa — xsin« = 0 , (5)
, . 1 (Dsina 4- Ecosa)
jrcos«-(-ysina=- (6)
* (cosa — — silla)
Eliminant B, D, E et a entre les équations (1) , (3) , (4) , (5) et (6), l’équation finale en x et ij représentera le lieu géométrique demandé.
De l’équation (5) on tirera
et COSa=;
tane#= — — : d’où sina=. . l/L WJtA « y — y
et les équations (1), (3), (4) et (6), se réduiront à
Digit
ga+EsrO, (x-*V) ! +|n>jr+E*)=0.
Substituant enfin , dans la dernière équation , les valeurs de B , D et E, tirées des trois premières, on obtiendra , après réduction
équation d’une cissoîde dont le sommet est à l’origine et
qui a pour diamètre du cercle générateur — a.
Deuxième solution. — On peut arriver plus promptement au résultat par les considérations suivantes :
L’équation (P), résolue par rapport à y , donne
y— — -jr* — jr±7rk(2BD — -,
d’où l’on voit que l’axe de la parabole a pour équation
et, si a: et y désignent les coordonnées du foyer, l’équation (1) sera une première relation entre les coordonnées d’un des points cherchés.
On trouvera facilement que la directrice, qui doit passer par le point dont les coordonnées sont — x, — y, et qui est perpendiculaire à l’axe, a pour équation
et, par suite, la distance du point M (a, 0) à la directrice aura pour expression , d’après la formule connue ,
y— afo+*)
by' Goôgle |
et comme cette distance doit être égale à
MF ~ (/ (a —
on aura pour deuxième relation
V' {a-xf+y 1 .
Eliminant- entre les équations (1) et (2), on obtiendra toute réduction faite, la même équation Anale
397. F et F' étant les foyers et TT la tangente donnés , prenez le milieu O de FF', et abaissez les perpendiculaires FP , F f P' , sur la tangente. O sera le centre de l’ellipse ; OP=OP' le demi-grand axe , et |/Fl\FP' le demi petit axe, qu’on peut aussi construire directement après avoir déterminé le demi-grand axe.
Démontrer les deux propriétés qui ont servi à cette construction.
404. Désignons par 0 le centre du cercle , par PQ=/ la longueur de la corde , et par M un point marqué sur cette corde tel que
PM m ...
- <c MQ — n ' " '
D’après la propriété des cordes dans le cercle on aura , en désignant par r le rayon ,
PM.MQ=r 2 — ÔM 2 , • (2)
et , d’après l’énoncé ,
TPM+MQ=^
Digitizgd t
Des équations (1) et (3) on tire
