Soit

« 2 y 2 H -AV 2 =a 2 £ 2 (i)

l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes ;

a 2 gÿ -j- h 2 xx? —a 2 b 2 (2)

celle d’une tangente à la courbe en un point x', g' ;

et enfin

y — av t

l’équation de la perpendiculaire 'abaissée du centre sur la tangente.

L’élimination de x', y', entre ces trois équations, donnera l’équation du lieu géométrique cherché.

Les deux dernières équations donnent

Et substituant ces valeurs dans l’équation (1), on trouve, toute réduction faite ,

{x?-\.y*f=hy+4à i r% (F)

équation du 4 e degré.

Si l’on résoud cette équation bi-carrée par la méthode connue , on trouvera la valeur

dans laquelle c 2 =« 2 — /> 2 . ’ * -

JP?

En donnant à x des valeurs arbitraires , on déterminera les valeurs correspondantes de y, et l’on construira les quatre branches de la courbe.

Cette construction se fait plus facilement si l’on passe aux coordonnées polaires , en remplaçant x et y par leurs valeurs ,

;r=pcosw, y=psino).

On trouve en effet par cette substitution, après avoir supprimé le facteur p 2 , commun aux deux membres de l’équation ,

p 2 =ô 2 sin 2 o)-|-a 2 cosw ;

d’où

a 2 — c^sin^u ,

dans laquelle il suffit de faire varier « pour trouver autant de points qu’on voudra de la courbe demandée.