Soit
Ay-f-BV=A 2 B 2 (1)
l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes: les côtés du carré inscrit devant être parallèles aux axes, ou aura
et l’intersection de la droite (2) et de la courbe (1) déterminera deux des sommets du carré.
On pourra déterminer le carré graphiquement sans construire la courbe.
Au surplus le sommet positif du carré a pour coordonnées
AB
et par conséquent le côté du carré aura pour expression JAB
VaH-b*'
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
3J8 SOLUTIONS DEVELOPPEES.
41 a. Soit
Ay+BV=A 2 B 2 (1)
l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à scs axes : un des côtés du carré tangent à la courbe aura pour équa- I tion
%'+BW=A 2 B 2 , (2)
et , d’après l’énoncé du problème , on devra avoir
* 0 =y 0 , ou §=ji dou y =T* x '
L’intersection de la droite (3) et de l’ellipse proposée déterminera les points de contact des côtés du carré circonscrit.
Joignez les extrémités des deux axes par une droite , et
par le centre abaissez sur cette droite une perpendiculaire ,
qui déterminera sur elle deux segments dont le rapport sera
... B 2 égal a--
La droite (3) sera donc facilement déterminée. Les points de direction de l’ellipse et de la droite peuvent s’obtenir au moyen de la règle et du compas.
Au surplus , on peut déterminer les points de contact à l’aide des équations
qui donnent
|/A 2 -fB 2 ’ V ' |/A 2 +B 2 ’
et , si l’on désigne par O le centre de l’ellipse , par A et B les extrémités des axes , on aura
x'=zbAcosOAB , y — liiBsinOAB.
De là une seconde manière de construire les points de contact du carré circonscrit.
Enfin le côté du carré circonscrit étant représenté par C ,
’Digitii-a
on aura
et •
416. Ce problème, qui se présente fréquemment dans la discussion des équations du 2 e degré représentant des hyperboles , peut se résoudre de la manière suivante :
Première manière. — Soit p, q, les coordonnées du point •donné, rapportées au centre et aux diamètres donnés, et 2A la longueur du diamètre transverse : on aura pour dé-^ terminer la longueur du diamètre conjugué 2B l’équation
d’où
Ay — B 2 p 2 = — A 2 B 2 ,
Vp l — A 2
Connaissant un système de diamètres conjugués de grandeur et déposition, la courbe sera facilement construite.
Deuxième manière. — On peut déterminer directement et par une construction graphique les asymptotes de l’hyperbole. En effet
Soit OA et OB (fig. 42) les directions données des deux diamètres conjugués dont OA seul est donné de grandeur. En supposant le problème résolu, soit OS, OS', les asymptotes cherchées ; par le point A menons , parallèlement à OB , MAN qui sera une tangente à l’hyperbole , et par conséquent on aura AM=AN.
Soit P le- point donné; si.par ce point on mène QPAR et sa parallèle MIf , et par le point O la droite 01, qui joint le centre au milieu de la corde AP , le point K sera le milieu de MH, comme R. le milieu de NH , et par conséquent
AK sera parallèle à ORS' et KR à MN , et l’on aura les proportions
