Soit

yy'=j> (*+**)

l’équation de la tangente au point x } , y', de la parabole dont l’équation rapportée à son axe et à son sommet est

y l2 =2px' }

faisant successivement x =0, ij=0 dans l’équation (1) , on trouve

et par conséquent le rectangle sera exprimé par •

Digi

et, après des transformations faciles tirées de l'équation (2)

R=My+f),

ce qui démontre le théorème.

On peut parvenir au même résultat en observant que la perpendiculaire élevée sur l’axe par le sommet de la parabole rencontre la tangente au milieu de la partie comprise entre l’axe et la courbe ; et cette partie ayant pour expression [S (xx ,2 -\-y ,ï , on aura pour exprimer le rectangle proposé

R=|(4x' ï -j-y’ 2 ), et, à cause de y l3 =z2px’, on retrouvera R=2^(^+|).

424 . Soit R, r et h, les rayons des bases et la hauteur du tronc de cône donné; y la hauteur du plan sécant au dessus de la base inférieure , et x le rayon de la section circulaire.

D’après la formule connue du volume d’un tronc de cône et la condition de l’énoncé, on aura d’abord la relation

(TrR 2 +irr 2 -f-TrRr)A=2(7rR 2 -}-7ra? 2 -f-7rIb?)y ,

qui 6e réduit à

(R J -|-r 2 -fRr)/ t =2(R 2 -f^-|-Ra:)y. (1)

Si l’on désigne par H la hauteur totale du cône on aura les relations

entre lesquelles éliminant H, on obtiendra

Les équations (1) et (2) serviront à déterminer les inconnues

du problème. Substituant dans l’équation (1) la valenr de y

tirée de l’équation (2) , on aura

d’où

425. Soit F et F' (fig. 43) deux foyers des courbes données, ID, ID', les directrices correspondantes , et M un des points communs de ces deux courbes, d’où l’on a abaissé les perpendiculaires MP, MP', sur les directrices : d’après la propriété connue des courbes du 2 e degré , on aura