Soit

Ay+BV=A 2 B 2 (1)

l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes ,

A î yy'+B 2 xx'= À 2 B 2 (2)

l’équation de la tangente en un point quelconque x' , y ' , pour lequel on a la relation

A 2 y ' 2 -J- BV 2 = A 2 B 2 . (3)

Si l’on fait successivement w=0, x—0, dans l’équation (2), A 2 B 2

on trouve x Q =— y 0 =— , pour l’abscisse et l’ordonnée des x y

points où la tangente rencontre les axes , de sorte que le rectangle demandé sera exprimé par

P = V (*(,—• x ')‘ +ÿ 2 X y (y 0 — y") iJ cx à i

ou , remplaçant x 0 et y 0 par leurs valeurs ,

p=l/ (^) Vï» X V <c=F)'++-

Substituant dans cette expression les valeurs de y 1 , y'*, et B* — y' a , tirées de l’équation (3) , en ayant égard à la relation c^A 1 — B a , on obtient , toute réduction faite,

P=(A4-xX a "~t) ;

d’où l’on conclut que le rectangle des parties de la tangente comprises entre le point de contact et les axes de l’ellipse est équivalent au rectangle des rayons vecteurs menés des foyers au point de contact.

Remarque. Si sur la partie de la tangente comprise entre les axes , comme diamètre , on décrit une circonférence, qui passera nécessairement par le centre de l’ellipse , l’ordonnée de ce cercle correspondant au point de contact sera une moyenne proportionnelle entre les rayons vecteurs.