A 2 -fB 2 i , i

(JD 2 ' ÔË 2 A 2 B 2 A 2 "T" B 2 1

résultat indépendant de la quantité a. C. Q. F. D.

433. Soit S (fig. 47) le sommet par lequel doivent passer les trois plans sécants. Chercher le centre de gravité G de la face opposée ABC; les trois triangles AGB, BGC, AGC, sont équivalents , et par conséquent les trois plans devront passer suivant la même droite SG, et suivant les arêtes qui concourent au sommet donné.

434. Premier problème. — Soit OP=(/ (fig. 48); puisque MP=MQ , on a

ÔQ 2 +üP 2 =2ÔM 2 -f 2 MP 2 ; et de plus MN=^ QR.

Désignant donc par*, y, les coordonnées du point Q de la courbe , par a, p, celles du point M , on obtiendra

a r 2 +y 2 +rf 2 =2(« 2 +(3 2 )+2[(a-rf) 2 +/3 2 ].

Or de l’équation de l’ellipse A*y a -j-B 2 a: a =A a B a , à cause do y— 2 ° , on tire 4A 2 1 e a -fB 2 * 2 =A 2 B 2 ; d’où

et par conséquent l’équation de condition sera

Réduisant , on trouve

4A 2 /3 2 +4BV— 4B 2 arf+2B 2 <i 2 — A 2 B 2 =0 ; et, complétant les carrés,

équation d’une ellipse dont les demi-axes sont— A, yB, et dont le centre est au milieu de la distance OP.

Deuxième problème . — On mène MPQ (flg. 49) telle que MP=PQ ; alors xj — — p , et l’on a ÔQ 2 -j-0M 2 =20P 2 -|-2MP 2 , ou (a: 2 — f- 1 / 2 ) — f- (« 2 — j— £ a ) = — }— [ 2(« — rf) 2 — {— jS a ] j à cause de y*=p®, l’équation de la courbe A a y a -}-B a x a =A a B a donne

et par conséquent l’équation de condition devient , toute réduction faite,

Equation d’une ellipse qui a son centre au point P , et

. . \/ \2 Tri .

pour demi-axes B— — et \/ \-—d 2 .

Ces deux ellipses sont semblables à la proposée , puisque le rapport des demi-axes est le même.

455. Du point donné I (fig. 80), comme centre , et d’pp rayon égal à IP, distance de ce point à la directrice donnée DD', décrire une circonférence ; mener IIH/ parallèle à DD r , à une distance PQ égale à la moitié du paramètre donné : et les points d’intersection F et F' seront les foyers des deux paraboles qui satisfont à l’énoncé.

Démontrer la propriété sur laquelle est fondée la cobstruction.