AB'(A' 2 — A 2 ) A'B(A 2 — B
On peut reconnaître par cette valeur que les tangentes au point d’intersection des deux courbes, et par conséquent les courbes elles-mêmes , se coupent toujours sous un angle obtus.
Nous laissons au lecteur le soin de résoudre le problème suivant :
Quelle e»t la relation nécessaire entre les axes d’une ellipse et d’une hyperbole concentriques et rapportées aux mêmes axes coordonnées pour que les deux courbes se coupent à angle droit?
321 . Soit A 2 #/ 2 -(-B a ^c 2 =A 2 B a l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes, et ( x — a) 9 , -{-(y — P) 2 — p 2 celle du cercle osculateur , c’est-à-dire d’un cercle qui passe par trois points de la courbe infiniment rapprochés.
Si l’on désijjne par x y'-, x ", y"-, x"' } y"’, les coordonnées de ces points , on aura en même temps les relations
Ay a +BV 2 = A 2 B 2 , (x<—a) 2 +(y>—ff=p 2 ,
(e) A 2 y" 2 -fBV 2 = A 2 B 2 , \x "—*) 2 -t-(y"—p) 2 =p 2 ,
Ay» 2 -fBV" 2 =:A 2 B 2 ; (ar"'— «) 2 -f (y'"— j3) 2 = P a ;
des équations ( e ) on tire , par soustraction ,
(x* 2 — a?'" 2 ) — 2«(x" — a? m )-|->'y’ 2 — y” 2 ) — 20{y" — y’")=:0. et des équations ( c )
A 2 (y' 2 — y' ,2 )-f B 2 (ar' 2 — a?" 2 )=0 ,
A 2 (ÿW 2 y >» 2 ) ^j b 2 (x" 2 —x"’ 2 ) = 0.
Divisant la première des équations (c') par x' — x", et remplaçant le rapport par sa valeur tirée de la première
des équations (c'); ensuite, faisant x"=x r et y”— y', pour exprimer que les deux points x', y' ; x", y", sont infiniment rapprochés , on obtient ,
(fi)
En combinant de Ja même manière les secondes équations (c') et ( e '), on trouvera de même
(A 2 — BVy' — A V'-f B 2 j3ar"=0. , (2)
Retranchant (2) de (1), remplaçant dans Je résultat
xry-x’Y par , divbaot
par x 1 — x", substituant de même au rapport - — — sa vab J (z'+x”) x’—x"
leur ~~ A 2 ,y|l y'rj > et f aisant encore x"=.x’, y"=xÿ, on ob-
tient l’équation
(A 2 — B 2 )(A 2 y' 2 — BV 2 ) -f A 2 (aV4- fy') = 0 . (3)
Enfin la comb : aaison des équations (1) et (3) donnera directement les /aleurs deactp, coordonnées du centre du cercle osculateur correspondant au point x r , y' -, on trouvera facilement , à cause de A 2 y ,2 -|-BV ,2 =A 2 B 2 , les valeurs suivantes
a ’ b ST ’
dans lesquelles ch=. A 2 — B 3 .
Pour trouver l’équation du lieu géométrique des centres des cercles osculateurs , il suffira d’éliminer x 1 et y' entre les trois équations précédentes , et l’on trouvera sans difficulté t
Le centre du cercle osculateur s’appelle aussi centre de courbure au point correspondant de l’ellipse, et la courbe (D) la développée de l’ellipse, qui prend le nom de développante. On voit facilement que- les rayons des cercles osculateurs, ou rayons de courbure , sont normaux à l’ellipse, et de plus tangents à la développée , car chacun de ces rayons n’a qu’un point commun avec cette courbe. L’ellipse peut donc être considérée comme provenant du déroulement d’un fil enroulé primitivement autour de sa développée (D).
Ces calculs s’appliquent pareillement à l’hyperbole , et si l’on change, dans l’équation (D), Ben on trouvera
pour la développée de l’hyperbole
En appliquant le même calcul à l’équation de la parabole y i =2px , on aura, pour déterminer le centre do courbure en un point quelconque x', y f , les trois équations •
Di
