DÉVELOPPÉES
=2 px* ;
d’où l’on tire
sans difficulté
et par suite
ÿ= Spp ;
d’où l’on conclut pour l’équation de la développée
ÎTrf-8(«-,)'=0. .
On a trouvé pour les coordonnées du centre de courbure au point x y’ , de l’ellipse les valeurs
qui se construisent de la manière suivante (fig. 62) :
Au point donné M , x', y', mener la tangente MT, et, par le centre O de l’ellipse , le diamètre DD', parallèle à la tangente j puis le diamètre égal EE f ; et, par le point M, parallèlement à ce diamètre , la corde MN, qui coupe l’ellipse au point N : le cercle qui passera par les points N et M tangentiellement énce dernier point à l’ellipse et à sa tangente MT sera le cercle osculateur cherché.
En effet, la tangente MT a pour équation
le diamètre DD r ,
.. " BV
. y=— Âÿ*;
le diamètre égal EE r ,
BV
et enfin la corde MN, parallèle à EE f ,
L’équation de l’ellipse étant
Ay+BV=A Ï B Î , (2)
si l’on élimine entre les équations (1) et (2) , on trouvera d’abord
BVar-KAY 2 — BV J )
V— ïÿ *
et , par la substitution dans l’équation (2) ,
BV (AV 2 —BV 2 ) ±2 A 3 B Vÿ’a x — Ï*F ’
d’où, par conséquent les valeurs x t —x’, ce qu’on savait déjà,
,/ 3AV 2 — BVV
abscisse du point N.
L’abscisse du point I, milieu de MN, sera
Pour trouver l’ordonnée du point N, on substituera la valeur de x 2 dans l’équation (1), et l’on trouvera
l’ordonnée du point I sera donc
Gela posé, la droite MG, perpendiculaire au point M à la tangente MT, a pour équation
et la droite IG, perpendiculaire sur le milieu de la corde MN,
Eliminant entre ces équations , on obtiendra sans difficulté pour les coordonnées du point d’intersection des deux droites
*= jr » p * — ür*~ m
Le calcul serait exactement le même pour l’hyperbole ; il suffirait de changer B 2 en — B 2 .
Au surplus cette construction se démontre aisément sans le secours de ce calcul : en effet , on sait que lorsque deux sécantes MN, PQ (fig. 63), parallèles à deux diamètres -quelconques AA', BB f , se coupent soit dans l’intérieur, soit au dehors de l’ellipse , le rapport des produits des segments de cés cordes est égal au rapport des carrés des demidiamètres qui leur sont respectivement parallèles ; on aura donc
f IM.IN ÔP .
. IP-1Q ÔB 2 ’
et si les diamètres sont égaux , on a IM.IN=IP.IQ; par conséquent les quatre points M, N, P, Q, sont sur une même circonférence.
Supposons que les points M et Q (fig. 64) se confondent, ou ce qui revient au même , soit MN, MP, deux cordes parallèles à deux diamètres égaux : la circonférence passant par les trois points M, N, P, aura deux points communs avec l’ellipse au point M , c’est-à-dire que la tangente à l’ellipse d^fmintM sera aussi tangente à la circonférence. Mais si de plus le point P tombe aussi en M; si, ayant mené la tangente MT (fig. 63) au point M , ensuite un diamètre parallèle et construit son égal , on mène par M une parallèle MN à ce second diamètre , elle coupera la courbe en N, et le cercle qui passera par M et N tangenliellement à MT au point M aura trois points communs avec l’ellipse : ce sera le cercle osculateur.- '
1 La construction précédente cesse d’être applicable aux
SOLtJTIONS DÉVELOPPÉES. 367
sommets, extrémités des axes principaux; mais on peut , dans ces cas particuliers , déterminer facilement le cëntre et le rayon de courbure par les valeurs
S’il s’agit du sommet correspondant au grand axe , on a x'=X et j/'=0 , et par conséquent
Au lieu de construire directement cette valeur , on dèter-
minera le rayon de courbure , p=A — «= — ou le demi-
paramètre. Pour le sommet correspondant au petit axe on a x'=0, y’= B; d’où o=0, j3=—
Ces deux solutions sont réunies dans la construction suivante (fig. 66) , et s’appliquent à l’ellipse et à l’hyperbole : Sur OA, demi-grand axe (fig. 66), décrire une demi-circonférence, et par le sommet B r mener une parallèle BG au grand axe; du point O, comme centre, et avec un rayon égal à OF= (/ A 2 — B 2 , décrire une circonférence qui coupe la demi-circonférence'en I et la parallèle en H ; abaisser enfin IC perpendiculaire sur OA, et mener HC' perpendiculaire à OH ; les points C et C f sont les centres de courbure correspondant aux sommets A et B.
Pour la parabole , on remplace les diamètres égaux par les tangentes égales qui se rencontrent sur l’axe.
En effet , si deux sécantes MN, PQ, parallèles à deux tangentes ST, ST', se rencontrent en un point quelconque I, intérieur ou extérieur à la courbe , on a
