M.IN ST

1P.IQ ST» 2 ’

et, si les tangentes sont égales, on a IM.IN = 1P.IQ, et les points M , N, P, Q, sont sur une même circonférence*

Si les points M et Q se confondent en un seul , c’est-à-dire si les cordes MP, MN sont parallèles (fig. 68) aux tangentes égales ST, ST', la circonférence qui passera par les trois points M , N , P aura deux points communs avec la parabole. Enfin si le point P coïncide avec M (fig. 69), la circonférence qui touchera en M la tangente MP à la parabole en ce même point, et qui passera par le point N, où la corde MN parallèle à la tangente SM' égale à SM rencontre la courbe, aura trois points communs avec elle , et sera par conséquent le cercle osculateur au point M.

On peut vérifier cette construction en la soumettant au calcul. En effet, on a trouvé pour les coordonnées du centre de courbure les valeurs

a—p-f-àx 1 , P — ^ OU — •

Or l’équation de la tangente MP au point M (x r , y ') est

et la perpendiculaire MC à cette tangente au même point M

fi— ÿ'=— y («*-*')• (O

Cela posé, la corde MN, parallèle à la tangente égale SM', aura pour équation

L’équation de la courbe étant

y 2 = 2px , (3)

on tire sans difficulté pour les abscisses des points de rencontre de la corde avec la parabole x t =x' f x 3 =9x'- } d’où l (x t -f-x 4 ) = Sx , abscisse du point I , milieu de la corde MN. L’équation (2) donne, par la substitution de x K et x s , Vî — y't »/»=— 3y'; d’où i (y»+î/s) =—!/', ordonnée du point I.

On aura donc pour l’équation de la perpendiculaire IC

et la combinaison des équations (1) et (4) donnera les valeurs précédentes de a et de

Cette construction est également en défaut au sommet ; mais pour ce cas particulier on a a:'=0 , d’où a—p ; et par conséquent le rayon de courbure au sommet de la parabole est , comme pour les deux autres courbes , égal au demiparamètre.

Au point x', y’, de l’éllipse A a i/ a -)-B a x 2 =A a B 2 , le centre

de courbure a pour coordonnées

elle rayon de courbure est exprimé par p a =(a: r — 0t ) 3 H-Cî/ r — P) a

ou

expression qui devient , après quelques transformations assez faciles,

p ! = [(AH- B 2 ) - (* H-y 1 ’)? ■

Or, d'après une propriété connue, la somme des carrés des demi-axes peut-être remplacée par la somme des carrés de deux demi-diamètres quelconques , et par conséquent par la somme des carrés des demi-diamètres conjugués dont l’un passe par le point donné , et qui ont pour expression

car ces diamètres ont pour équations

y' BV

y—j, x , y— ây * 5

l’expression précédente de p 2 deviendra donc

2i fAVH-BVV

Pt ““\ A* B* ) *

Or on a, en désignant par N la tangente de la normale ,

Ay 2 +BV 2 =A 4 N 2 ,

et par suite

de là ce théorème

Le rayon de courbure en un point quelconque d’une ellipse ou d’une hyperbole est égal au cube de la normale divisé par le carré du demi-paramètre.

L’expression de p peut se mettre encore sous la forme

/AV+BV 2 \

l/ÂV+ïïv 5

Or, d’après la formule connue de la distance d’un point x y', à une droite y — ax — b— 0 ,

p y’—ax'—h

la distance du point de contact au diamètre conjugué à ce point sera

l/A'y' 2 -)- BV 2 ’ ’

On peut donc dire aussi :

Le rayon de courbure en un point quelconque de l’ellipse ou de l’hyperbole est égal au carré du demi-diamètre conjugué à ce point divisé par la distance du point au diamètre.

• . ' * • * . « Vn.

Enfin si l’on observe que le sinus de l’angle de deux droites dont les équations sont y=ax, ij=a’x , est exprimé par

sinl= , „ a-; — V

p . kl+a' 2

le sinus de l’angle des diamètres conjugués dont les équa-

lions sont^z^#, y— rrr#, sera exprimé par

sinl=n

' [/ x u^ y u l/'A 4 y ,2 +ltV 2 ’

et la valeur de p , mise sous la forme

r sin L

fournit cet autre énoncé :

Le rayon de courbure en un point quelconque de l'ellipse ou de l’hyperbole est égal au demi-paramètre relatif à ce point divisé par le sinus de l’inclinaison des diamètres conjugués, qui est la même que celle de la tangente sur le diamètre du point de contact.

D’où l’on déduit la construction suivante, plus simple que celle qui précède.

Pour déterminer le centre et le rayon de courbure en un point A de l’ellipse (fig. 70 et 71), mener le diamètre AÀ r et la tangente AT, puis le diamètre BB' conjugué à AA' et par conséquent parallèle à la tangente ; chercher une troisième proportionnelle entre OA et OB ; soit AG cette troisième proportionnelle [Deux constructions, selon que A>B (fig. 70) ou A=B (fig. 71)], et par le point G mener GC perpendiculaire à AA% le point où cette droile rencontre la normale au point A est le centre de courbure.

En effet