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et

372 SOLUTIONS DEVELOPPEES.

Cette construction s’applique à tous les points de la courbe. fi2 ^ A2

On a en effet aux sommets principaux p 1 = -j-» P2 — b" * Le rayon de courbure

j /'AVM-BVV

peut encore prendre la forme

Or ^A+ Y") et ^A — 20 représentent les longueurs

des rayons vecteurs menés des foyers négatif et positif : si donc l’on représente par M une moyenne proportionnelle entre ces distances , on aura

et par conséquent ,

d’où p=

P — ab’

Le rayon de courbure en un point quelconque est égal au cube de la moyenne proportionnelle entre les distances des foyers à ce point divisé par le carré de la moyenne proportionnelle entre les demi-axes.

On sait en outre qu’en désignant par d la distance du centre à la tangente, et par r, r', les rayons vecteurs des foyers au point de contact , on a . . • * Q

. A Tl

d’où AB =

p3jj3 jyl

et à cause de p 2 =j^r 1 on aura p= -j : donc * Le rayon de courbure en un point quelconque est une qua-

trième proportionnelle entre ta distance du centre à la tangente et tes rayons vecteurs menés du foyer.

Ce qui fournit une construction beaucoup plus simple que les précédentes et qui s’applique à tous les points de la courbe (ellipse ou hyperbole).

Quant à la parabole, on a trouvé pour les valeurs du centre de courbure au point x\ y\

et P

p 2 = (■*'—■ *y+(y— py= (h* 2 *0 2 (i +^) ;

d’où l’on tire

Or, d’après une propriété connue de la parabole, ~ -f- x' exprime la distance du foyer au point x’, y'-, et 2 x' ^

représente la moitié du paramètre du diamètre qui passe par ce point.

D’un autre côté p

. it

représente le sinus de l’angle que la tangente au point x\ y r , fait avec l’axe de la parabole , car cet angle a pour tan-

De là ce théorème :

Le rayon de courbure en un poinl\quelconque de la para -

* Je

bole est égal au demi-paramètre du diamètre passant par ce

point divisé par le sinus de l’angle que la tangente fait avec

lui.

, Et par conséquent on a ce théorème général pour les trois courbes du 2 e degré :

Le rayon de courbure en un point quelconque d’une courbe au 2 e degré est égal au demi-paramètre relatif à ce point divisé par le sinus de l’angle des diamètres conjugués.

Et , comme cas particulier :

Le rayon de courbure au sommet principal d’une courbe du 2« degré est égal au demi-paramètre.

322. Courbe composée de deux branches , comme l’hyperbole ordinaire, et comprise entre les asymptotes y=0, IJ=Z—X+1.

Les tangentes sont parallèles à l’axe des ordonnées aux points où la courbe coupe son diamètre ; elle n’a pas de tangentes parallèles à l’axe des abscisse.