Soit fait

On trouve, en développant et égalant les rationnelles et les irrationnelles, les équations

Æ 3 3 Æy 2+9 == 0, 3x 2 y— Ÿ— 46=0, (1) (2)

qui serviront à déterminer les quantités x et y.

Multipliant l’équation (1) par 3y et l’équation (2) par x , on obtient, en soustrayant les produits ,

équation qui pourra remplacer l’une des équations précédentes pour l’élimination de y. -

Eliminant y entre les équations (1) et (3) par la méthode du plus grand commun diviseur, on trouve facilement pour équation finale

Il est facile de voir que cette équation n’a que trois racines réelles. On trouve sur-le-champ pour racine commensurable x,=3.

Mais sans s’attacher à celte équation complète , on fera , ce qui donne

Cette équation admet pour racine commensurable z,=27. Divisant para — 27, on obtient, en égalant le quotient à zéro pour avoir les autres racines ,

d’où l’on tire

et par conséquent , après réductions convenables , on trou vera pour les valeurs de x . et x ,

On sait que pour pouvoir réduire une expression de la forme \y a± 1/b à la forme («± |/T) il faut et

il suffit, que , après avoir choisi c tel que p'' (A 2 — B)c soit un nombre rationnel , ce qui est toujours possible , et représenté par M, l’équation 4ca 3 — 3Mca— A = 0

admette au moins une valeur commensurable. Alors , a étant cette valeur, on a a 3 — 5=M; et, c étant connu, on obtient les valeurs de a, b et c. Or ici l’on a A 3 — B= 18252 — 18252= — 27; par conséquent c=l et M= — 3.

En outre l’équation de condition se réduit à

qui admet pour racine a=3 : on obtient donc a=3, 5=12, et par suite

Les valeurs correspondantes de y seront données par L’équation

d’où

Pour la valeur #,=3, on obtient sans difficulté i/,=2 Pour la valeur tions convenables,

Pour la valeur x 2 = , on trouve , après réduc-

Pour la troisième valeur x 3 = jp— , on obtient.

par un calcul semblable ,

Il resterait à combiner les valeurs imaginaires de l’unité pour compléter la question et donner les 9 couples de valeurs de x et y exigées par l’énoncé.

524. Soit OA r , OB’ (fig. 2), les diamètres conjugués donnés ; en résumant les raisonnements et les valeurs du n u 68, on se servira de la construction suivante :

Mener B’P perpendiculaire sur OA’, sur laquelle on portera B’E=B , D=0 , A ; et les droites OA, OB, qui partageront ’angle EOD et son supplément en deux parties égales, indiqueront la direction des axes de l’ellipse. Pour détermi-

SOLUTIONS DÉVÈLOPPÉES.

ner leur grandeur , il suffira de mener B'/i parallèle à OA , et de porter E/i de O en A et Oh de O en B.

Les foyers seront facilement déterminés aussitôt que les ' axes sont connus de grandeur et de position.

Au reste on peut déterminer les foyers directement par la construction du n° 68. Soit AJ, B' , les demi-diamètres conjugués donnés; A, B, les demi-axes de l’ellipse. Afin de déterminer la longueur de la normale, à l’extrémité du diamètre OB', par exemple , on remarquera que la construction précédente donne

B'II Oh

B'E — hE ’

et dès lors

D’où l’on peut conclure les théorèmes suivants :

La normale en un point quelconque de l’ellipse est une quatrième proportionnelle au grand axe , au petit axe et au. diamètre conjugué de celui qui passe par le point donné .

Les normales aux divers points de l’ellipse sont proportionnelles aux diamètres conjugués relatifs à ces points.

Si du centre de l’ellipse on mène OR perpendiculaire à

la tangente D'T , en désignant par d la distance du cen-

tre à la tangente , il est facile de voir qu’on aura (/=— ; et, comparant cette valeur à la précédente, on tire Nd=B 2 . Ce qui fournit l’énoncé de plusieurs théorèmes généraux, et entre autres :

Les distances du centre aux tangentes à l’ellipse sont réciproquement proportionnelles aux diamètres qui leur sont parallèles.

En désignant par r, r f , les rayons vecteuys menés des foyers au point B, on a, d’après la propriété de l’ellipse ,

(r-|-r , ) 2 =4A 2 , ou r 2 -\-r' 2 -J-2rr'=4 A 2 .

Or le triangle FB'F' donne r 2 -f-r' 2 = 2B' 2 -{-2(A 2 — B 2 );

et, à cause de A 2 -f-B 2 = A^-j-Bf 2 , on obtient n* — A rî .

Les propriétés si connues des diamètres conjugués',

A' 2 -f B' 2 =A 2 -f B 3 , A'B'sin 6 =AB , * t

se démontrent très aisément à l’aide des valeurs obtenues (n°68) pour deux demi-diamètres conjugués quelconques î

4, abJ/ï+ 7? w , I/ÂV+ÎF .

Ka 2 « 2 +b 2

On observera seulement que , 6 désignant l’angle des diat mètres conjugués dont les équations sont y'—ax, y—a'x.

sm0=

Kï+o 2

Ce genre de démonstration est peut-être plus simple et plus direct.

Quoi qu’il en soit, les formules précédentes servent à sim-

plifier l’expression du rayon de courbure .

En effet, à cause dep=^-i on aura

P AB sinO

rr>

ainsi qu’on l’a trouvé par une autre méthode (n° 521).