Soit

l’équation de fa parabole. La normale au point x, y, de la parabole, et passant par le point », p, a pour équation

d’où l’on lire

x= pP—(p—*)y ,

Substituant dans l’équation (1), on a, pour déterminer l’or- ‘ donnée du point de rencontre de la normale et de la courbe, l’équation

Pour que cette équation ait deux racines égales , il faut et il suffit que son premier membre ait avec sa dérivée un commun diviseur du 1 er degré. Sa dérivée est3y 2 -|-2p(p— oî). Effectuant les calculs , on trouve , d’après la méthode connue , que la condition nécessaire et suffisante pour que l’équation (3) ait deux racines égales est

Cette équation n’est autre chose que la développée de la parabole.

L’une des racines cherchées est donc

son égale ?/ a aura la même valeur; et la troisième racine , d’après la forme de l’équation (3), sera donnée par la relation 2t/| — f- ÿj— 0; d’où.

jpt

Or les tangentes des angles que font avec l’axe les normales à la courbe aux points dont les ordonnées sont y t et y 3 sont

— P ’ — ~ : on aura donc pour déterminer le lieu géométrique demandé

Substituant pour y , et y, leurs valeurs , et réduisant , il vient

équation de deux lignes droites

L’élimination entre les équations (4) et (S) donne

’—Jl >. < 3=± 2^î’=4?l'' 5 '

pour les coordonnées des points cherchés.

Si l’on s’était proposé seulement de trouver le lieu géométrique des points de rencontre des normales perpendiculaires deux à deux , on aurait remarqué que , l’équation (3) donnant généralement les valeurs des trois ordonnées correspondantes aux trois normales, et la condition de perpendicularité étant l-{- =0, d’où ÿ,.y s = — p 2 , la va-

leur de la troisième ordonnée y 3 sera, d’après cette même équation (3) , donnée par la relation

y,yj/i=îp 2 P> d ’ où : =— 2 /3;

et , substituant cette valeur dans l’équation (3) , on trouve

Et par conséquent les lieux géométriques sont

axe de la parabole;

équation d’une parabole ayant même axe que la proposée et dont le sommet est distant du sommet de la proposée

, d’une longueur égale à -g P-