La courbe est une hyperbole; B* — 4AC>0, et l’o
fc>
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
rigine des coordonnées est un point de la courbe. Résolvant par rapport à x , et effectuant la division, on trouvera
. ' Les équations des asymptotes sont donc y=2 , parallèle à l’axe des æ; a: =: ^ i/H— 1 , droite qu’on déterminera sans difficulté. Les asymptotes étant connues et l’origine étant un ,
* point de la courbe , l’hyperbole sera construite facilement, i * r Les coordonnées du centre sont x=2, y=2.
Si l’on résout l'équation proposée par rapport à y , on +
■* trouvera . ’
y — x±l/ x 1 — Ixx.
On voit que le diamètre transverse dé 1 hyperbole conjugué « à l’axe des y partage l’angle des axes en deux parties égales. Les abscisses des points extrêmes de ce diamètre seront
* * ar=0, et par conséquent le centre aura pour coor-
ç- données x—2 , y=2 : ce qu’on savait déjà.
' » T Pour déterminer l’autre axe , on prendra la valeur réelle •du radical correspondante à x=2, ce qui donne 2 pour la * longueur du demi-diamètre non transverse.
- La longueur du diamètre transverse sera évidemment
* « représentée par \/ x{ — x'j l -\- {y — y’) 2 , expression dans la-
quelle on fera x=2, y =2, x’=0, y'=0, et qui donnera ,<2 (/T pour la longueur du demi-diamètre transverse.
On pourrait dès lors déterminer facilement les axes, puisqu’on connaît un système de diamètres conjugués de grandeur et de position, ou bien construire directement la courbe.
Mais on peut déterminer directement la longueur u demi-axe transverse en cherchant le minimum de la distance du centre à la courbe dont l’équation est donnée.
Soit d la distance du centre x’, y', à un point quelconque x, y, de la courbe proposée, dont l’équation est
* ‘*4 fgk •■'• ■• * ? V ** • ’
désignant par a la tangente de l’angle que cette droite fait avec l’axe des abscisses , on aura les relations
y—y'=a(x—x'), (y— yy-\-( x — x y— d 2.
d’où l’on tire
ad
Kï=R’ r |/I+^-
Or, on a trouvé pour x' et y' les valeurs x r =2, y 1 — 2-, sub- ,V stituant les valeurs de x et de y dans l’équation de la courbe, on trouvera, toute réduction faite ,
La plus petite valeur de d sera donnée par la relation (d*— 2) a — 20=0 5 d’où l’on tire <#=2+2 ^5 , et par suite *
On a donc à la fois la direction de l’axe transverse et la \ longueur de ce demi-axe, qui est, en la désignant par A,
On serait arrivé au môme résultat par les formules de transformation. En effet, on transporte d’abord l’origine au centre en faisant x=x'-\-p , y— y'-] -q, ce qui donne pour pre- ' x mière transformée
et y’= 2 , x’= 2 , ce qu’on savait déjà. Ensuite substituant dans l'équation (2) les formules
y=^'sin«-)-y"cos«, x'=x''cos « — y"sina ,
on obtient
d’où
tanga = —1+^8
sm a = ] v ,
k'iO— 2^/5
COSa =
SU
et pour dernière transformée » . q •* .
’** 2|/5y" î +(5— 3klK+2(10— 2Kô)=0. - *
, * En faisant y r, =0, on trouve ar"=J/ 24 -f /5 , f »•“ * . x"=0, ... y , '=k' := rj / 2|/8lT. J
* t . S4S. L’énoncé du problème revient à celui-ci. On mène •
à une parabole donnée toutes ses tangentes, autour de cha- /
• cune desquelles on suppose que la courbe fait une demi- "
. révolution : quel est le lieu géométrique des sommets pour
chaque position de la parabole rabattue sur le même plans, •
« * Soit TM une des tangentes à la parabole donnée ; si, par
* le sommet A , on mène la perpendiculaire AI, et qu’on la
• prolonge de IA'=IA, le point A' sera une des positions du sommet de la parabole rabattue sur son plan après une
* • demi-révolution. ^ .
* Soit x , y, les coordonnées du point I, lesquelles seront
* déterminées aisément par les équations
. yy*c =J»H-ar% ■ y— —J* y
de la tangente à la parabole et de la perpendiculaire abaissée sur elle du sommet. En effet, on en tire
P 2 xf
px'y'
Cela posé , soit a, /3, les coordonnées du point A’ : on aura évidemment a=2x, p=2 y; et par conséquent
et l’on a en outre
y a =2px > .
Eliminant x' et y’ entre ces trois équations , on obtiendra
équation d’une cissoïde renversée dont le pôle est au sommet de la parabole donnée et dont le diamètre du cercle générateur est égal au demi-paramètre.
