Soit x, y , s, les trois côtés du triangle cherché
<p„ et ç a , <pa, les coordonnées des centres de gravité du contour et de la surface , rapportées à deux des côtés du tri-, angle, y et z par exemple , pris pour axes, et comprenant l’angle 0 : il s’agit de trouver la condition qui doit rendre maximum la valeur
-K?-?.) 2 + »(V~CCr. -?.) C08# -
D’après le théorème des moments on aura pour .déterminer le centre de gravité du contour
U*+y+ z ) z = x ‘\ z + z - \ z> T.(^+y+^ =ar -| y+y-f y;
d’où l’on tire sans difficulté
1 \yz 1 „
Et, si l’on représente par 2p le contour et par S la surface du triangle demandé, on aura, à cause de x+y-\-z=2p, iyzsin0=S,
^ 2 Z 2^>sintt ’ fl 2^ 2psia8
bailleurs les coordonnées du centre de gravité de lia surface sont ?. = !> d ’ où Von tire
l ^ s== (g 3 ■â^sIiT©)' » (ë Xpame}’
et par conséquent l’expression de a* deviendra
~ 2^)+ (? y + 2 u z - 2^?) cos0 -
La valeur a 1 sera évidemment la plus grande possible pour sin0=l , d’où 0=100 et cos0 =0.
De plus la valeur résultante
sera un maximum pour z=y : donc le triangle demandé est le triangle rectangle isocèle.
Pour déterminer la valeur de A a , on aura
mais on a y=z , ys=2S ; d’où z={/2S ; et enfin
On peut exprimer la valeur de a* en fonction du contour donné. En effet, d’après la nature du triangle isocèle rectangle on a z=y et x=y[/^ï; d’où , à cause de (— s =2 p
et de 2 /=z=P' / 'âs, on obtient
et dès lors
A * Kâ
12 (Kâ-ft) 2, /: ■
On voit facilement que la valeur minimum de a est zéro, et que le triangle est équilatéral. En effet, si l’on exprime que les centres de gravité du contour et de la surface coïncident , on aura , en égalant les valeurs de E, et ç a , 71 , ? 9 ,
d’où l’on tire z=y, et par conséquent a:=y=x indépendamment de toute valeur de 2p et de S.
On remarquera que la condition du maximum de Gg (fig. 84) peut se ramener à la condition de maximum de la .distance GO entre le centre de gravité du triangle et le point de concours des bissectrices. En effet , les triangles ABC , DEF, étant semblables, les points C et D , O et g, sont des points
homologues, et par conséquent le rapport comme
DG
le rapport ; et de plus les droites Dgr et CO sont parallèles :
donc G g est la moitié de OG ; ce qui démontre déjà ce théorème général :
Dans tout triangle la distance des centres de gravité de la
surface et du contour est la moitié de ta distance du centre de gravité au point de concours des bissectrices, et ces trois points sont en ligne droite.
Les coordonnées du point de concours des bissectrices
étant » on aura sur-le-champ à rendre maxi-
mum l’expression
psinS' T Vj
psiu';
pjinflXs^ psln'/) COS ®’
D’où l’on conclura comme précédemment sin6=l, ou 6=100°, et z=y.
Soit H et P les points de concours des hauteurs et des perpendiculaires élevées sur le milieu des côtés : les trois points H, G, P, sont, comme on sait, aussi en ligne droite, et de plus PG=-j GH -, par conséquent les triangles PGÿ, HOG, sont semblables, et P g est parallèle à OH, et égal à sa moitié. De là ce théorème :
Dans tout triangle 1° la droite qui joint le point de concours des hauteurs et le centre du cercle inscrit est parallèle à la droite qui joint le centre de gravité du triangle et le centre du cercle circonscrit; 2° la distance de ces deux points est la moitié, de la distance des deux autres.
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
876. La condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps pesant reposantsur un plan par plusieurs points soit en équilibre est que la verticale abaissée du centre de gravité du corps sur le plan tombe dans l’intérieur du polygone formé par la jonction des points d’appui. Le corps de l’homme dans la position verticale s’appuie sur les pieds, placés symétriquement et formant avec la distance des talons un trapèze isocèle. Il est d’autant plus solidement posé sur cette base, que, parla position de son centre de gravité et la grandeur de cette base , ce centre est moins exposé à en sortir par l’effet des chocs extérieurs. Le problème est donc réduit à déterminer la position des pieds lorsque le trapèze de sustentation a la plus grande surface ; et , généralement, à déterminer la position de deux droites AC, BD, d’égale longueur (fig. 85), mobiles autour de leurs extrémités A et B, situées à une distance donnée AB , pour que le trapèze isocèle ABCD soit le plus grand possible.
Abaissez la perpendiculaire BH, etsoitBD=AC=/, AB=a, DBE~200 — DBA=a. La surface du trapèze aura évidemment pour expression S=(AB-j-DH)BH.
Or DH=/cos«, BH=/sina; d’où S=(a-f-/cos«)/sina. Egalant à zéro la dérivée du deuxième membre , on trouvera /*sin 2 a — (u-f-f cos a)/cos tz—0 ; et, toute réduction faite, 2/cos 2 a-f-adosa=/; d’ou enfin
cosa
a±kV~t-8^
La valeur de a ne pouvant excéder 100°, la seule valeur admissible sera
cosa= -77 >
expression qui , mise sous la forme
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
peut se construire très facilement.
Si a =0, on trouve 810 * 5 = 7 -— : d’où «=80°.
Sia=/, cosa=~; d’où a=66 0 --
582. Soit les quantités données 'a, r etD, le côté, le rayon du cercle inscrit et la distance des centres des cercles inscrit et circonscrit; R le rayon inconnu de ce dernier; en vertu(507)de la relation D S =R S — 2rR*, on pourra regarder
* Étant donné deux cercles tels que , entre leurs rayons R et r et la distance cl de leurs centres , il existe la relation d 2 5=R a — sRr (m) , « d’un point quelconque de la grande circonférence on mène deux cordes tangentes d la circonférence intérieure , la droite gui joint les extrémités de ces cordes est aussi tangente d la même circonférence , de sorte que le triangle ainsi formé est à la fois inscrit dans la grande circonférence et circonscrit à la petite.
La corde qui joint les points (a, b), (X, Y), de la grande circonférence X 2 -f-Y J =:R 2 (1), et qui est tangente à la petite circonférence dp=r 2 (S), a pour équation (3); à cause
de a 2 +6 2 = R 2 (») , on a en même temps (4) ; enfin , les
coordonnées {x, y) du point de contact devant satisfaire à la relation (3), on aura
^ as-u y
Combinant successivement les équations (9), (3) et (5), [(9)] (4) et (6), on obtiendra deux équations qui , additionnées membre à membre, donneront, toute réduction faite, en vertu des relations (m) et (n) ,
brï — [ar — (a— d) R] X-}- R [(a — d)d-\- (R — r)r] 5=0 ,
équation d’une ligne droite, qui n’est autre chose que la corde qui joint les extrémités des deux cordes tangentes menées par le point (a, 6). Calculant la distance du centre de la petite circonférence , dont les coordonnées sont y'=0, x'=zd , à cette droite , dont l’équation est de la forme AY+BX-f-C=0, d’après la formule connue P=
on obtiendra P =r.
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.T' 1 .; w«o -t'.i ïTî v V r ,‘TK' t
comme connu le rayon R, et le problème revient à déterminer le triangle , connaissant un côté et les rayons des cercles inscrit et circonscrit.
Or, puisque l’on connaît le rayon du cercle circonscrit et un côté, on connaît aussi l’angle opposé à ce côté, et' le problème est ramené à celui-ci : déterminer le triangle , connaissant un côté , l’angle opposé et le rayon du cercle inscrit.
Soit A l’angle opposé au côté a ; x, y, les côtés inconnus, on aura les relations
« 2 =x 2 -|-y 2 — 2#ycosA, (1)
xysinA=(x-f-y-|-a)/\ (2) *
L’équation (1) prend la forme
a 2 = (x-f -y) 2 — 4xycos 2 i A ; et, à cause de l’équation (2) ,
»-=(, -frf-
v 1 SinA ’
d’où l’on tire
(x-j-t/) 2 — 2[x-j-y)rcotiA = a 2 -(-2arcoti.\ , et , toute réduction faite ,
x -j- y — a -}- 2 /«otï A .
Par conséquent , enfin , le problème proposé revient à construire un triangle, connaissant un côté, l’angle opposé et la somme des côtés qui comprennent cet angle ; problème qui n’offre aucune difficulté.
Nous laissons au lecteur le soin d’effectuer toutes les constructions et d£ discuter les cas d’impossibilité.
584. Soit Ay*-f-Bxi/-|-C 2 9 — 1=0 l’équation générale des courbes du 2 e degré rapportée au centre et à deux axes rectangulaires ; substituant dans cette équation les valeurs
•v x=x'cos«-f-y'cos«', y =x'sina -}- y'sina' ,
420 SOLUTIONS DEVELOPPEES.
qui servent à passer d’un système rectangulaire à un système oblique , on obtient
Asin 2 a ar' 2 -}-2 Asinasina' ar'y'-j-AsinV y' 2 — 1—0.
-f-Bsinacosa -j-Bsinacosa’ -j-Bsina'cosa 1
+ Ccos 2 a -{-Bsina'cosa -j-Ccos 2 a'
-|~2CcosaCOsa'
Egalant à zéro le coefficient du rectangle des variables, on aura
2 Asinasina'-f-Bsinacosa'-f-Bsina'cosa-f-SCcosacosa' =0. (1)
Soit y=px, y=qx, les équations des nouveaux axes, de sorte que p =-^- 1 • l’équation précédente (1),
mise sous la forme
2A-^ , Bsin« BW , sc==0 ,
cosa cosa' 1 cosa cosa' 1
deviendra
et, en désignant par I l’angle des nouveaux axes, on aura
La courbe rapportée aux nouveaux axes aura donc pour équation '
(Asin 2 ot'^-B5ina'cosa ; -|-Ccos- ! x , )y' ;i -)-(A3in 2 a-f-B5iiiacosi-j-Ccos 2 a)xi 2 — 1=0.
Substituant dans cette équation les valeurs
Sina— « ^ . i COScc — , ;
Kl +f 2
sina'= , ■ — ■> cosV— - f
KÏ+? Kl+ga
on aura , toute réduction faite ,
A^-fBy-fC \p 2 -^-Hp-\-C < - . 14 -a 2 y ^ 14-»2 * —
Faisant successivement y'—O et x’=Q , on trouve
0 AjH+Bp+C
et désignant par a' 8 , 6' 8 , les carrés des demi-diamètres conjugués, on aura
a ,2 . A , 2 (l4-/’ 2 )(A 9 2 +B7-fC)+(l+9 2 )(Ap 2 +B/>4-C)
^ ~ (A^+Bp+CjtA^-fBç-j-C)
Développant le numérateur et ayant égard à l’équation (2) , on le ramène à la forme (A-f-C) (p — q) 8 .
Effectuant de même le produit du dénominateur, et ayant égard à la même relation (2) , on le réduit à
(B 2 — 4AC) (p — g ) 2 q *
et par conséquent
^ i( B 2 — AAC) •
Cette relation ne peut avoir lieu que dans le cas où B 8 — 4AC<0, c’est-à-dire dans le cas de l’ellipse. Dans le cas de B 8 — 4AG>0, il faut nécessairement que l’on ait a ,8 < 0 ou 4 ,a <0, condition qui se rapporte en effet à l’iiyperbole.
En multipliant entre elles les valeurs de Xo f8 , i/ 0 ,8 ,'on obtient
~ (A/^+B^+CKAg^+Bq+C)
Or, de tangI= ( -£^- on tire
l+pg
»inl = i . = = ettin*l=— '
V 1-jr/j-l^i-j-q 2 (i+p 2 )(t+9 2 )
et par conséquent
" — î(B 2 — 4AC)sin 2 I ’ d’où n'6'sinl=: constante.
Ces deux résultats , étant indépendants des valeurs de p et de q , démontrent que dans toute ellipse la somme des carrés des diamètres conjugués est constante, ainsi que le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques.
Et , comme il s’agit ici de la somme algébrique , on peut regarder comme démontré que la différence des carrés de deux diamètr.es conjugués quelconques de l’hyperbole est constante comme la surface du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués.
587. Prenant pour axe des abscisses une droite parallèle à la droite donnée et pour axe des ordonnées une droite perpendiculaire, l’origine étant au centre de la courbe, l’équation de la courbe sera représentée par
et la tangente au point x', y', par
2C*’-fBy'
2Ay'+Bx'
Pour trouver la difection du grand axe de l’ellipse on substituera les valeurs
y~x"s‘\na. -f-ÿ"COSa , X—X l 'COSa . — ÿ"sina ,
qui servent à passer d’un système d’axes rectangulaires à un système d’axes de même espèce , ce qui donnera , toute réduction faite ,
{ ÀC 0 i 2 B-{- Csin 2 * — Bsin>a)yi'2-f (A5iQ 2 a-f-Cco 2 to(-}-Bsi03tcc«a)x» 2 — 1 = 0,
et pour déterminer la direction du grand axe ,
B(cos 7 a — sin 2 a) -f- 2(A — C) siD« cosa = 0 ;
d’ailleurs l’équation du grand axe sera
si n a
J COSa
Pour exprimer que la tangente est parallèle à la droite don-
née , ou ce qui est la même chose à l’axe des x, il suffit d’égaler à zéro le coefficient de x dans l’équation (T) , ce qui donne les relations 2Cx'-j-B{/'=0 , y=y' ; enfin les longueurs des demi-axes a et b seront déterminées par les équations
Acos 2 «-|-Csin 2 a — Bsinacosa »
Asin 2 « -f- Ccos 2 a-f- Bsinacosa = »
de sorte que pour éliminer les quantités A, B, G, a, x\ y ’ , variables à cause du mouvement de rotation de l’ellipse autour de son centre , on aura les relations
2Cx'+By=0,
Ay ,J -j-Bxy -j- Gx >2 — 1=0,
B(cos 2 a — sin 2 «)-f-2(A — C)sin«cosa= 0,
sin*
J cosa 1
Acos 2 « -f- Csin 2 * — Bsin«cos«= p »
Asin 2 a-{-Ccos 2 a-j-BsinaCOSa= — 'i
<ÏÏ "
l’équation finale en x et y représentera le lieu géométrique demandé.
Substituant dans l’équation (3) les valeurs de x ' et y' tirées des équations (1) et (2) , on obtient
(B 2 — 4AC)y 2 -J- 4C =0:
Les équations (4) , (6) et (7) se mettent sous la forme B A— î^J-2(A— C)— =0,
\ cos 1 ' ' cos* 1
• cos 2 * cos* br
sin*
cos x a
4Z4 SOLUTIONS DEVELOPPEES.
cos^a ! 1 ccisa a 2 eos 2 a
et, à cause de l’équation (5) , qui donne sin * __j/ et i __ y 2 +^
cos« x cos 2 !* ar 2 ’
ces équations deviennent , toute réduction faite ,
Aa^-f-Cy 2 — Bar y= ~ i (10)
Ay 2 + Cx2 + Ba; y =^^"‘ O 1 )
Il ne reste plus qu’à éliminer A, B et C, entre Ie$,qu#tre équations (8), (9), (10) et (11).
En ajoutant les équations (10) et (11), on trouve
et e#les retranchant
Substituant dans cette équation la valeur de (A — G) tirée de l’équation (9) , on obtient
et par suite
n 2ary(<? 2 — h 2 )
D — a 2 A 2 ;ar 2 -J-y 2 ) ’
r (g»-fc 2 )(ar 2 -ÿ 2 ) A aW(x^f)
Les équations (12) et (15) donnent
. r __ «y+AV
Substituant enfin ces valeurs de A , B et C , dans l’équation (8), et réduisant, on trouvera pour équation du lieu géq-
métrique cherché
y 2 (* 2 -hy 2 )-(«y+^)=o. , (F)
Passant aux coordonnées polaires au moyen de la substitution des valeurs x=pcos«u , y=psin<a , on trouvera
sin^w '
expression dans laquelle c*=a? — ô 2 .
Pour construire cette courbe , on mènera parallèlement àla droite donnée et aune distance du centre égale au demi petit axe de l’ellipse, une droite BD ; et, par le centre O de la courbe, des sécantes quelconques, qui rencontreront cette droite en des points tels que I; sur les droites 01 on élèvera, aux points I , des perpendiculaires IF=c, et rabattant par un arc de cercle les longueurs OF sur la droite 01, en OM , on obtiendra autant de points M de la coucbe.
On voit facilement que cette courbe se compose de deux branches symétriques et asymptotes aux deux droites BD, menées parallèlement à la droite donnée à une distance du centre égale au demi petit axe. La plus grande ordonnée est évidemment égale au demi-grand axe. Ce résultat est d’ailleurs indiqué aussi par la discussion directe de l’équation (F) en ordonnées rectangulaires. Enfin le centre de l’ellipse est un point isolé de la courbe.
S89. La condition nécessaire et suffisante de l’équilibre, d’après les conditions données , est que le centre de gravité G (fig. 86) du trapèze soit situé sur la droite CG perpendi- . culaire aux deux bases ; en d’autres termes , que la distance du centre de gravité au côté perpendiculaire AD soit égale à la longueur dn côté inconnu CD.
Supposons qu’on ait prolongé les côtés non parallèles du trapèze jusqu’à leur point de rencontre I, et désignons par b la base donnée AB , x la base inconnue CD, H la hauteur
totale IA , et h la hauteur AD. D’après le théorème des moments , on aura
