HA 1, (H— 1
d’où (6*— x 3 ) H -f- hx a = 3hx (6 -f-x). On a d’ailleurs
fl— A a; ’
et par conséquent
Substituant cette valeur dans l’-équation précédente, on trouvera , Sans difficulté, 2x a -J-2 bx — 6 a = 0; d’où
De là cette construction :
Inscrire un triangle équilatéral dans le cercle décrit sur la base donnée AB ~b , comme diamètre , et retrancher du côté du triangle le rayon du cercle , le reste sera la longueur de la base supérieure demandée.
590. Soit 2p, S, A, le périmètre, la surface et l’angle donnés ; x, y, z, les côtés inconnus du triangle , x étant le côté opposé à A : on aura les relations
a: 2 — y 2 — J-z 2 — 2y*cosA. (3)
L’équation (3) peut se mettre sous la forme x 2 = (y-f-*) 2 — 2 yx{\ -j-cosA), et , à cause de 1+cosA = 2cos a ~ A ,
x 2 = (y-}-z) 2 — 4yzeos 2 \ A .
Substituant dans cette équation les valeurs de y-{-z et de yz tirées des équations (1) et (2), on obtient
jr 2 =(2 p — x ) 2 et , toute réduction faite ,
8Scos 2 -jA si a A
p 2 — ScotJA
Si l’on fait S=p4tang A, on trouvera #=p — h.
Les deux autres côtés seront donnés par les équations
y-\-z = p-\-h, ijz=z et par conséquent leurs valeurs seront les racines de l’équation
ph
cos 2 jA
La valeur de x se construit très facilement d’après les transformations précédentes. Cecôtéx=MN étant trouvé, on décrira sur ce côté, comme corde , deux segments capables l’un de l’angle A, l’autre de l’angle iA; d’une des extrémités de ce même côté, M par exemple, comme centre, et avec un rayon égal à 2p — x, on décrira un arc de cercle, . qui coupera l’arc du second segment généralement en deux points O, O r ; les triangles MNO, MNO', satisfont à la question.
On peut aussi calculer numériquement le côté x en mettant sa valeur sous la forme > .
S cos^A \ p 2 sin^A / '
et, si l’on fait
= tang<p, on aura
J . == J»i"(iA— ?)
siniAcos^y
l’angle auxiliaire <p étant déterminé par la relation qui précède. ...
591. Cette équation , étant du 3 e degré, aura toujours au moins une valeur réelle pour y, quels que soient le signe et la grandeur attribués à x. Du reste la condition de réalité des trois racines étant
on voit que entre ac=0 et x—a p^4 les trois racines seront réelles.
On voit de plus que l’équation proposée ne présente jamais que deux variations et une permanence : ainsi , dans le cas des trois racines réelles, il y en a deux positives et une négative.
S’il y a des valeurs de y imaginaires , auquel cas x doit être négatif, cette valeur sera positive et croîtra indéfiniment comme la valeur négative correspondante à x positif.
La courbe se compose donc de plusieurs branches (fig. 87), dont trois, A qm, kmn , A p, s’élèvent au dessus de l’axe des abscisses, la dernière indéfiniment ; et la quatrième, ko s’étend indéfiniment au dessous du même axe.
En cherchant , d’après la méthode générale , l’inclinaison t de la tangente sur l’axe des abscisses , on trouvera
y 2 — ax ’
d’où l’on voit que la tangente est parallèle à l’axe des abscisses au point x=a\yï , y =a [y U; et perpendiculaire à ce même axe au point x-=.a\yH , y— a [Xi.
On déterminera les points multiples de la courbe en cherchant la condition pour que l’équation proposée ait des racines égales ; cette condition est exprimée par
ce qui donne x=0, d’où y=0, et x=n IX 4, y— a ,
c’est-à-dire l’origine A, où deux branches de la courbe viennent se croiser; et le point m , où deux branches de la courbe se réunissent. •
Pour obtenir les asymptotes rectilignes, on s’assurera si l’expression de la distance de l’origine aux points où la tangente coupe les axes coordonnées est susceptible de limite; or on a pour l’équatien générale de la tangente
et, faisant successivement Y=0, X=0, on obtiendra
Y «xy Y aJC 'J
o ay — af 2 * 0 y 2 ~—ax
Afin de déterminer la limite de ces expressions, on fera y—Kx dans l’équation proposée , ce qui donnera
Sak
y ~rfp'
y devient infini pour K=— 1 , et par conséquent y=—x ; changeant donc x en — y dans les expressions précédentes et prenant les limites , on obtient
Xi=AU=— a, Y,==ÀV= — a.
La courbe a pour asymptote rectiligne la droite ÜV, dont i’équation est
On aurait pu arriver au même résultat par la méthode générale , en résolvant directement l’équation proposée ; ce qui donne
Effectuant les opérations indiquées , on trouve pour l’équation de l’ordonnée
La courbe (fig. 87) est connue sous le nom de folium de Descartes*.
Si l’on fait l’application à l’équation proposée de la méthode générale pour trouver les diamètres de la courbe
(n° 27) , on trouvera
pour l’équation du diamètre rectiligne de la courbe : résultat qu’il était d’ailleurs facile de prévoir, car l'équation proposée ne change pas si l’on y change y en x , et réciproquement.
502. D’après l’énoncé, si l’on désigne par N le quantième de l’année demandée , il s’agit de trouver pour N une valeu| telle que les quantités
soient entières et positives ; ou bien, désignant ces quotients entiers par x, y , s, on aura à résoudre les équations indéterminées
Les équations (2) et (3) donnent 19«/-f-14=15z-}--8; d’où l’on
tire t/=lSr-f- 6 , s=19t-j-8j et pqr conséquent le nombre cherché, eu égard seulement aux deux dernières conditions, sera de la forme
Egalant les seconds membres des équations (1) et (4), on
aura 28a:-}-18=28Bf-|-128j d’où l’on tire f=28r-J-6, je =285 v -}— 65 ; et enfin pour le nombre cherché,
Le nombre demandé est donc 1838.
594. Prenons pour axe des x la droite OABM (fig. 88) qui joint les centres des cercles et le point décrivant, et pour axe des y une perpendiculaire à cette droite élevée par le Centre du cercle immobile ; soit le cercle mobile arrivé en c et Je poûqt décrivant en m.
* D’après l’énoncé de la question , l’arc AA'— arc «A'. Soit fait OA=R , AC =r, CM=rf ; OP=x, mP=y , AA'— z.
Si l’arc ÀA'=z, l’angle AOA' = ^- et acA' = ^ • On a a: = OP = OH -J- en , y—mV=cll-\-mn. Or
OÜ^OccosAOA' =(R-^-r)cos ,
en — cmcosmcn=>(icos(mcD -J-DenJ^dcosCoeA'-f-AOA')—
cHrsOcsinAOA’usÇR-j-tOsin
mn—emsinmen—dsin ^
On aura donc les deux équations
x=(R4-r)cosJ+rfcos(^ + î) y=(R-(-r)sin^+rfsin^+i)
L’élimination de s entre ces deux équations déterminera le lieu géométrique demandé ; épicycknde allongée ou raccourcie , selon que </>r ou <r.
Si l’on ajoute membre à membre ces deux équations , après avoir élevé au carré , on obtient
® 2 4-y 2 ==KR-K) 2 + <I2 + 2<, ( R + r ) j^ Sin j^-sin -f-^+ GOS + ~) C0S ^J . Développant sinQ-+ on trouve
ar 2 j y 2 __ (R+r) 2 4-^-f2rf(R-f-r) COS z - ■ (2)
On aurait pu obtenir ce résultat plus promptement en observant que le triangle Ocm donne
Om I =Oc 2 -j-c»i' 1 — 20c. cmcos(200°— -«cA.')<
Si l’on suppose d=r , on a les équations
*= (R-k)cos J-j-rcos(J-|- J)
y=(R+r)sin «n»(gH-|)
qui donneraient pour l’élimination de z l’équation de l’épi—
. cycloïde ordinaire.
Cas particulier. — 1° Comme cas particulier , et pour donner une idée du calcul d’élimination, nous supposerons en même temps d=r= R. On aura les équations
ar=2Rcos|j-+Rcos2^, ar s +ÿ 2 =R 2 ^5-f Acos^J.
De la première on tire > ,
* = 2Rcos 2 | r |-2R cosj^ — R;
d’ou enfin >
L+‘l/îîü5.
Substituant cette valeur dans la deuxième, on trouve (ar 2 — J-y 2 ) — 6R 2 (ar 2 -f- y 2 ) 2 — 8R 3 ar — 3 R 4 = 0 ,
* équation de l’épicycloïde produite par le roulement d’un cercle sur la circonférence du cercle fixe de même rayon.
L’équation en coordonnées polaires est
p 4 — 6R 2 p 2 — 8R 3 pcosw — 3R 4 =0.
2° Si le point M tombe sur le centre du cercle immobile , c’est-à-dire si d=— (R+r) , les équations (1) deviennent
; y == (R-j-r)[sin (£) - sin(î + j)] , y , .
et l’équation (2) donne ’ . ...
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
(« 2 +y 2 )= 2 C R + r ) 2 (l— cos^=4(R+r)W ; Des premières équations on tire
=-“>c(ïî+£),
d’où
cos
et, à cause del/'ar'-fy 2 = 2 (R-f-r) C09 27 , on aura x= 2(R+r)cos£ sin(j -f £.) , y =— 2(R+r)cos ^cos^ + .
Si l’on suppose R=2r, ces valeurs deviennent
x=6rcos^-sin-^-j y— — 6rcos^
„ cos-; 2r r
et
P^qpp==6rcos-
Soit fait cos^:=u, on aura
sin^=kT^7 et sin^==2sin^cos~==2w|/ï=P,
et cos-=cos 2 ^- — sin 2 ^-=2« 2 — t;
d’où, à cause de V' — 6 ru , et w= —
ou , passant aux coordonnées polaires ,
f» 2 — IS^mfclSHsinw, d’où p= 3r \/i±. sïn u .
- 506. Soit
Ay 2 H - Bary -|- C.r' 2 -|- Dy 1 -)- E x r ~ 0 (E)
l’équation de la courbe rapportée à deux axes rectangulaires menés par le sommet , l’axe des x étant parallèle à la droite donnée. L’équation de la tangente au point x', y ’ , sera
y y vsAÿ'-fBx'-f-Dy''
et, d’après la condition de l’énoncé, on aura les relations y’=y , Prenant les valeurs de x 1 et de y'
de ces deux équations pour les substituer dans l’équation (E) , on trouvera
(B 2 — 4 AC) y 1 -4- 2(BE — 2CD)y -f- E 2 = 0 . . (G) Substituant dans l’équation (E) les valeurs
x' = x ll COSec — y’’sina, y'=ar"sina-|-y''c0Sa ,
pour passer d’un système d’axes rectangulaires à un autre système d’axes rectangulaires, on trouvera une équation de la forme
A'y , ' 2 -f-B , .r"y , '+C'x' ,2 -f Dy'-f E' = 0, dans laquelle
• A' = Acos 2 a — Bsinacosa -|-Csin 2 a ,
B 1 — B(cos 2 a — sin 2 a)-]-2(A — C)sinaCOSa , C'=Asin 2 a-}“^ s ' n «cosa-}-Ccos 2 a ,
D'=Dcosa — Esina, E'=Dsina-j-Ecos«.
Si l’on veut que le nouvel axe des abscisses se confonde avec le grand axe ou l’axe transverse de la courbe ,
Pour l’ellipse, dont l’équation est a 2 y 2 -\-b 2 x 2 — 2ab 2 x=0, on a A’=a 2 , B'=0, C'=6*, D'=0, E'=— 2a4 a ;
Pour l’hyperbole, dont l’équation esta a j/ a — 6 M -f-2a6*x=0, on a A!— a 2 , B'=0, C'=— 6 a , D'=0, E'=+2a6 a ;
Enfin pour la parabole, dont l’équation est i/ a — 2px—0, on a A'=l, B'=0, C f =0, D'=0, E'= — 2p.
1° Pour l’ellipse on aura donc
Ac<Js*a-— Bsinacos» C«in 2 a ss a*, (i)
et enfin
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
B(c os 2 « — si n J a)-|-2 ( A — C ) sin acosa 0 ,
Asin 2 a-{- BsinaCosa-[-Ccos 2 a A 2 ,
Dcosa — Esincç.=zO,
Dsina-f- Ecosa= — 2aA 2 ,
y sina
x cos«
Les équations (4) et (5) donnent
E — 2aA 2 cos«, D= — 2aA 2 sina.
Les équations (1) et (3) donnent par addition A + C=a 2 + A 2 ,
et par soustraction
(A — C)(cos 2 « — sin 2 a) — 2B.sinxcosa = a 2 — A 2 . Combinant cette équation avec l’équation (2) , on obtiendra A — Cr=(a 2 — A 2 )(cos 2 a — sin 2 a) , B= — 2(o 2 — A 2 )sinaCOs«.
Des valeurs de A-j-C et de A— C on conclut enfin
C=a 2 sin 2 «-}- A 2 cos 2 a, A = o 2 cos 2 a-J-A 2 sin 2 a.
De l’équation (6) on tire sina:
-, . , cosa = i == >
et par conséquent les valeurs de A, B, C, D, E, deviennent
K aV-fA 2 y 2 T) 2(a 2 — b l )xy r a 2 y 2 -j-AV
D= — yt =^= ’ E=- r j £ ^ -
kV+y 2
Substituant ces valeurs dans l’équation (C), on trouvera
y 2 {x 2 -\ry 2 ) — 2ay 2 J/ V-j-y 2 — AV = 0 , (L)
équation du lieu géométrique demandé. .
Passant aux coordonnées polaires , à l’aide des formules x=pcosco , j/=psin&> , on trouvera
courbe à quatre branches. Le sommet est un point isolé.
2° Pour l’hyperbole, il suffit de changer A* en — A s , et
l’on obtient
Deux courbes fermées.
3° Pour la parabole , on a
Acos 2 a — Bsinacosa -j~ Csin 2 a = 1 ,
B(cos 2 a — sin 2 a)-|-2(A — C)sinaCOSa“ 0 , Asin 2 a-{-Bsiiu»cosa-{-Ccos 2 a:z=0 >
y sin«
Dcosa — Eshia=0, Dsina-f-Ecostcz; 2 p, — — i
d’où l’on tirera les valeurs de A, B, C, D, E, pour les substituer dans l’équation
2(BE— 2CD)y+E 2 =0, (C')
et l’on obtiendra, toute réduction faite, en coordonnées rectilignes,
y 2 V xH-y* + 2 P 3 ? 0 »
en coordonnées polaires
p=-p c ôt 2 w,
pour le lieu géométrique demandé.
397. Première solution. Soit A 2 j/ 2 -f- B 2 x 2 =À 2 B 2 I équation de l’ellipse donnée, rapportée à son centre et à ses axes; désignons par y< -, x", y"-, «, P, les coordonnées inconnues des sommets M , N , P, du triangle demandé : on
aura évidemment entre ces inconnues les relations
AV 2 +B 2 a?’ 2 = A 2 B 2 , (2)
pj^+BV 12 = A 2 B 2 , (1)
if+BV = A 2 B 2 , (3)
( y . ÿ ", 2 j ( x ’—jg") 2 =:(y'—P) 2 -f (x 1 — a) 2 , (5)
et , en vertu de la condition de l’énoncé ,
o" = — v' , x" es — x'. (6) (7)
seumoNS développées. 437
Eliminant x ' , y',x" , y ” , entre ces équations, on obtiendra :
AV-f-B 2 |3 2 =:3A 2 B 2 . (8)
Les coordonnées du sommet P seront données par l’élimination entre les équations (3) et (8) , c’est-à-dire par l’intersection de deux ellipses concentriques dont les axes sont donnés ou faciles à déterminer, 2A|/3, 2B|/3.
Deuxième solution. On peut encore simplifier la solution en ramenant l’intersection des deux ellipses à l’intersection d’une ellipse et d’un cercle concentrique d’un rayon facile à construire.
Additionnant membre à membre les équations (3) et (8), on trouve , toute réduction faite ,
Et par conséquent les coordonnées a, p, sont données par l’intersection de l’ellipse donnée (3) et du cercle concentrique (9).
Le rayon du cercle
p=^===pcut s’exprimer par 2B
Or il est facile de voir que, si l’on joint AB (fig. 89), l’angle ABOa pour tangente-^, et par conséquent pour cosinus
Donc
= AcosABO,
et si l’on abaisse la perpendiculaire 01 6ur AB, on a Ol = OAcosAOIr=OAcosABO; donc 7 P =01.
Il est facile de déterminer la longueur du côté du triangle équilatéral en fonction des axes de l’ellipse. Pour cela en désignant par c le côté , on aura ( x ' — a)*-j-(t/ r — p) a =c a ,
i Q Og
et à cause de x' =± - > y'—Ziz ~ , on trouve
De là résulte la construction géométrique suivante (fig. 89) :
Mener AB, et 01 perpendiculaire sur AB; prendre IG=OI, et achever le triangle équilatéral , dont on déterminera le centre C. Du point 0, comme centre, décrire un cercle, avec un rayon égal à OG, qur déterminera le point P; et ensuite un second cercle, avec un rayon égal à OC, qui déterminera les points M et N.
Cette construction fait voir que le problème ne sera pas possible lorsque 01 sera plus grand que OA.
On peut au surplus déterminer analytiquement la condition d’impossibilité en éliminant entre les équations (3) et (9) : on trouve en effet
et par conséquent il faut d’abord que A \/z~ ou > B; et, comme « doit être plus petit que A , il faut aussi que
<1 ; d’où 4 > B t/T,
relation qui aurait donné aussi la valeur ABt^A 2 — 3B 2 ^ |/ A 4 — B 4
Enfin on peut résoudre ce problème d’une manière purement géométrique , ainsi qu’il suit (fig. 90) :
Déterminer un système de diamètres conjugués OD, OE, faisant entre eux l’angle f. Diviser l’angle DOE en deux parties égales par le diamètre OP, et mener le diamètre
MON perpendiculaire à OP : le triangle MNP satisfera à la question.
899. Soit A, B, C , les trois points donnés : le problème revient évidemment à mener par deux de ces points, A et B, à un même point M d’une courbe donnée du 2 e degré , deux sécantes ADM, BEM, telles que la corde de section DE passe par le troisième point C.
Soit y*=2px-\-qx* (1)
l’équation générale des courbes du 2 e degré; a’, b', a”, b", a" 1 , b'" et x', y', les coordonnées des points A, B, G et M : on aura pour ces dernières coordonnées la relation
ij ,i =z2px’ -j- </£'*.
Les équations des sécantes ADM, BEM,
y— y—fcjr (*—*')»
pourront être considérées dans leur ensemble comme le lieu géométrique , exprimé par leur produit
(y—y l ) 2 (x'—a')(x'—a"')-(x—x l )(y—y') [(«'— a') (y'— i')] *') 2 {y'— i'xy— A«)=0. (3)
Substituant dans cette équation la valeur du rapport
fi pi 2p-\-û(, ^r— I—
- — —, = -■-■-■ 4 ^-— tirée de la combinaison des équations x—x y-\-y'
(1) et (2) , on obtient
D’après cette substitution , l’équation (4) représente un lieu géométrique passant par les points D et E , ainsi que l’équation (3); par conséquent toute combinaison de ces deux équations représentera aussi un lieu géométrique passant par ces mêmes points ; ajoutant donc les équations (3) et ( 4 ), et réduisant en ayant égard aux équations (1) et (2), on
trouvera , avec un peu d’attention , le résultat symétrique
jiy'—r'- *+-0— pi «•+.»"!— p(o'4- *’)— î«’ r’ 0 "+ x )—7 a "- r '
Cette équation du 1 er degré en x et y représente la corde de section DE.
Si l’on veut exprimer que cette droite passe par le point C , il suffira de remplacer dans l’équation (5) x et y par a" t et b m , et l’on obtiendra
+{by~p^’+x)-qay)(b l b l ''-p(a'+a'’')~qa'a''') > (6)
équation du 1 er degré en x?, y', et qui représente par conséquent une droite qui, par son intersection avec la courbe donnée, déterminera le point cherché M.
On construira facilement cette droite si l’on se souvient que la polaire d’un point quelconque dont les coordonnées sont a, p, ou autrement dit la corde de contact des deux tangentes qu’on peut mener par ce point, étant généralement
P Y — X) — yaX=0 ,
la distance d’un autre point quelconque a!, p', à cette droite, sera exprimée , d’après la formule connue , par
. -J- PP’— P'fg+ g ’)— <7««’
En effet, soit P', P" (fig. 91), P m , les polaires des points A (a’, b'), B (a", b"), C (a'", b’")-, et h', h", h!", les distances du point inconnu M à ces droites; b et c les distances des points B et G à la polaire P' du point A, a et d celles des points A et C à la polaire P" de B : l’équation (6) pourra se mettre sous la forme
*»=jir+2*. m
De plus, soit p', p", p"> t les trois côtés du triangle formé par les polaires P', P", V ,r '; et h la distance du sommet au côté
l’on joint le point M avec les trois sommets , on formera trois triangles tels que le triangle formé par l'intersection des polaires sera égal à l’excès de la somme de deux de ces triangles sur le troisième. On aura donc entre les quantités h', h", h'" cette seconde relation
équation qui représente en h' et h" une droite que l’on construira aisément dans l’angle des deux droites P' et P".
L’intersection de cette droite et de la courbe proposée résoudra le problème, dans le cas le plus général.
Si le point C se trouvait sur la droite AB, on sait que dans ce cas les trois polaires se coupent en un seul et même point : on a par conséquent li~ 0, p'=. 0, p"= 0, p'"~ 0.
Mais les rapports ^7, ^7, sont finis et égaux à en
représentant par n', n ", n'", les trois cotés d’un triangle dont les directions seraient parallèles à P\ P", P'" : alors l’équation ( 9 ) 6e réduit à .
et représente une droite qui passe par le point de concours des trois polaires.
Enfin si le point C était situé à l’infini sur la droite AB, c’est-à-dire si la droite DE devait être parallèle à cette droite , cette condition, exprimée par la relation
b'y ' — p(a'-j-x') — qa'x' — qa"x' /..x
b 12 — 2 pa' — qu ’ 2 b " 2 — 2 pa" — ga" 2 1 '
ainsi qu’on peut le voir par les équations ( 5 ) ou (6) , fournit
La comparaison des équations ( 7 ) et (8) donne
SOLUTIONS DEVELOPPEES*
la construction très simple qui suit : Par les points A . et B (fig. 92) menez AO, BO, parallèles à leurs polaires, et joignez le point d’intersection O de ces droites avec le point de rencontre I des polaires par une droite Oï, qui déterminera par sa rencontre avec la courbe les deux points M et M f , qui satisfont à la question.
En effet si l’on exprime par h', h", les distances du point - inconnu M aux polaires P', P", dès points A et B; et par a et 6 les distances de ces points aux mêmes polaires, l’è-
quation (11) prendra la forme — = y, ce qui s’accorde parfaitement avec la construction précédente , car le rapport des distances des points M et A, M et B, à la même polaire ,
est égal au même rapport
600. Si l’on suppose le poids de chaque sphère décomposé suivant deux directions, l’une perpendiculaire , l’autre parallèle au plan sur lequel elle s’appuie , on verra d’abord que, dans le cas de l’équilibre , il faut pour première condition que l’intersection des plans inclinés soit horizontale ; secondement , il faut encore que les forces avec lesquelles les sphères se repoussent mutuellement dans la direction de la ligne des centres soient égales. Cette dernière condition servira à déterminer la position des sphères entre les plans inclinés.
En effet , supposant le problème résolu et les sphères en équilibre, si l’on conçoit que par la ligne qui joint les centres on ait mené un plan perpendiculaire à l’intersection des plans inclinés , ce plan vertical coupera le plan horizontal, les plans inclinés et les deux sphères, suivant des droites Il II', AB, AB' (fig. 93), et des circonférences C et C', lesquelles seront tangentes entre elles et aux droites qui correspondent aux plans inclinés. , '
Le ceûtre de la première sphère C sera sollicité par trois forces : peosô, dirigée suivant CE, pression de la sphère sur
le plan incliné AB; psin0, dirigée suivant CG, parallèleàAB, force avec laquelle elle tend à rouler le long du plan ; 9, dirigée suivant CC f , force inconnue résultant de la pression des deux sphères l’une contre l’autre. Or, ces trois forces étant en équilibre, on aura la relation connue t
d’où
pt in9 sinC'CE
<f sinGCE *
psinB
? sinC'CE
à cause de sinGCE =sinlOO°=l.
De même le centre C' de la seconde sphère est sollicité par trois forces : la première, p'cosQ', dirigée suivant C'E f , et exprimant la pression de la sphère sur le plan incliné ; la seconde, p'sin0', dirigée suivant C'G parallèle à AB', exprimant la force avec laquelle la sphère tend à rouler le long de ce plan ; la troisième enfin , 9 , dirigée suivant C'C , et exprimant la pression des deux sphères l’une contre l’autre. L’équilibre de ces trois forces donne pareillement
■ • . . ___ p'sinD'
? sinCC'E'
De la comparaison des équations |(1) et (2) on tire sur-
le-champ >
sinCC'E' psinB
sinC'CE p'An'j'
Or sinCC'E'=sin(CC'G-f GC , E')=sin^lOO < >-j-CÇ , G)=cosCC'G , sinC'CE=sin(C'CG-fGCE)=sin(100*-|-C'CG)=:cosC'CG ;
donc
cosCC'G psinB
cosC'CG p'.iinô'
Maintenant si l’on remarque que l’angle CGC'=BAB' n’est autre chose que l’inclinaison donnée des deux plans inclinés, et que d’ailleurs la somme des angles CC'G, C'CG, est donnée , puisqu’elle est égale à 200° — B A B' , on verra
que le problème se réduit à diviser un angle donné en deux parties telles que le rapport de leurs cosinus soit égal à un rapport donné.
On peut conclure de cette analyse la construction suivante :
Mener parallèlement aux plans inclinés et dans un plan perpendiculaire à leur commune intersection les droites CG, C'G, à des distances égales aux rayons des sphères données, ce qui déterminera l’angle CGC' égal à l’angle des plans; porter sur CG, à partir du point G, une distance GX égale à la force qui tend à faire rouler la sphère C sur le plan incliné correspondant et élever une perpendiculaire à GC par le point X; porter de même sur GC", prolongement de C'G, une longueur GY égale à la force qui tend à faire rouler la sphère C f le long du plan incliné correspondant , et par le point Y élever une perpendiculaire à GC" : ces deux perpendiculaires se rencontreront en un point I. Joindre GI, et prendre sur GI, indéfiniment prolongé, une longueur GK. égale à r-f-r'; enfin, par le point K mener KC parallèle à C'GC", et par le point C, CC' parallèle à KC : les points C et C' seront les centres des sphères dans la position d’équilibre.
Au surplus on peut calculer directement l’angle que la droite des centres CC f doit faire avec l’un des plans inclinés. En effet, désignant par x l’angle C'CG, par exemple, que la droite CC' doit faire avec le plan AB ou avec la droite CG dans la position d’équilibre , on aura , à cause de la relation (3) ,
psin9 cos [200* — CGC' — ar] côs[(200° — CGC') — a:]
p'siirô’ 1 ensa? cosar
cns[f200" — B AB*) — ar] cos[(0-|-O') — a?]
cosar cosar ’
d’où
tangx =:
psin0 — p'sin9'cos(9-|-')') p'sinü'sin(G-}-6')
SOLUTIONS DEVELOPPEES. . 445
Si les deux sphères étaient homogènes entre elles, à cause
de d=d' on aurait
pi r'*
Enfin si les deux plans inclinés étaient perpendiculaires entre eux, on aurait 0-J— ô f = 100° , sinô^cosôj d’où
tanga; =^ 7 tangô.
