ApjAicdlion. — A - (15, B = — On a d'abord

puis 4 — 87 a — 65 = O ;

d’où a, = 5 et

Par conséquent, l’une des valeurs de VG5 — i4^ y/ — » est 5 — -isf— I. Les deux autres valeurs de ce radical sont

XCésoIution de l'équation

329. Conformément à la remarque du n” 79, essayons de satisfaire à l’équation

par une expression de la forme

.r = VA + v'1i + Va -v/ii'. (a)

Ainsi qu’on l’a vu dans ce numéro, on conclut, de cette expression ,

— 3 V A* — B. a; —iX^o. ( 3 )

Identifiant les é<iualions (i) et (3), nous aurons

d où X — — 1, \\ — !L 1-.

(”) I- ‘iqiialion II 1= 3a',.5 — ,3' iléleriniiic le signo de ;3,.

Ai.(;kBK K.

Pjir conséquent,

Co résultat est connu sous le nom âo> fonmile de Cardan.

330. Remarques. — I. Les deux radicaux cubiques contenus dans cette formule admettent chacun trois valeurs. Si on les associait arbitrairement, on obtiendrait neuf valeurs différentes pour æ-, tandis qu’on n’en doit avoir que trois. Mais comme, en formant l’équation ( 3 ), on a pris

va-1-v^-v^a - s/\\ =

on ne doit associer, parmi les valeurs des radicaux dont il s’agit,

que celles dont le produit est Scient R, et R„ deux de

ces valeurs; soient, comme précédemment, 0 et &Mes racines cubiques imaginaires de l’unité ; les racines de l’équation (i) seront

= R| -f- Rj ) R, 5''*, .r, = R, -|- R.^ 0. (5)

11. La formule (4), prise dans toute sa généralité, résout les trois équations

jc^ p.r + q = O, 0/xr + 7 — O, O’/xr -f- 7 = o (*).

331. Applications. — i”. .r^ + 6'î^ — 7 = 0. La formule (4) donne

On peut prendre R, = 2, R, = — i. Donc

(*) En multipliant les premiers membres, on obtient l’équation px'-h 3 qA-hp'A-ir 3 q')x*-i- p* qx’-~h pq’ X q'= O,

dont les neuf racines sont données par la formule ' 4 ).

7.". .1’’ 4- 1 5 .r 4- 20 = O. On trouve, de la même manière,

,r = V — lo 4- v^225 4- V — m — = ^5 — y^25 ;

puis, en prenant seulement les valeurs arithmétiques de ces deux derniers radicaux,

jr,= ^5-v/â5, .r, = 0 ^'5 — 0^ .r, = 6’ ^5 - 0 J/ÏS,

ou

Sisoutsion de la formule de Cardan.