Ckînsidérons à présent l’équation

ou , ce qui est équivalent , la formule

et , pour abréger, supposons A > o.

En représentant par a la valeur réelle de x, ou la valeur arithtnétique de y k [^\) ^ et posant x = ay, nous réduirons l’équation ( 8 ) à

Par conséquent, Toute quantité jjositii’e A a trois racines cubiques, que l’on obtient en multipliant la valeur arithmétique de y A par les trois racines cubiques de l’unitf.

326. Plus généralement, si a désigne une valeur quelconque de y k , et que 0 et 0’ soient les racines cubiques imaginaires de l’unité ( 323 ) , les deux dernières valeurs de y k seront « 0 et a 0% meme lorsque A est imaginaire.

Ce dernier cas donne lieu au problème suivant , analogue à une question traitée dans le chapitre IV.

327. Problème. — Ramener l’expression VA — i h la forme a p i.

De VA-i-Bv/ — i = a-|-py/ — I,

on conclut, en élevant au cube,

A = a’-3ap% B=3«>p-p’; et, par les propriétés des modules (St),

y k^ B’ = («’-i-pn-

Eliminant ou a? entre cette dernière équation et les deux précédentes, on obtient, en représentant par 7^ la valeur positive du radical, soit

a^|.^î«iA = o, (A)

soit P* — ^7^p -^B = O. (B)

Pour fixer les idées, considérons l’équation (A). Elle a au moins une racine réelle «,{*), dont on pourra trouver la valeur exacte ou une valeur approchée ( Chap. XVIII et XXIV). Si p, est la racine

(*) Les équations (A) et (B) ont toutes leurs racines réelles; mais cette circonstance est indifférente, quant à présent.

190 ALGHBRK.

corrc.spi)rutantv l'équalion (B), donnée par lu formule

(2, = ± - af ( * ) ,

les trois valeurs de V A -t- B\/— i seront