AO

ao/„3, ao/„3,

Ah,

La première disposition est suffisamment expliquée par ce qui ■ précède. Quant au second tableau , la relation générale

donne la règle suivante ;

ALGÈBUl!:.

Pour obtenir un terme (juelconque, on retranche le terme écrit à sa gauche , du terme écrit au-dessous de celui-ci.

339. Application. — Soient «„= a, u^ — 7, w, = i5, w, = 3o, = 47, «„= 71.

On pourra former les deux tableaux suivants :

8 , IJ, 17, '.^4 î

Principaux problèmes sur les différences.

3iü. Problème I. — Connaissant le premier terme u^ d’une suite', ainsi que ses différences successives A , A" ,

calculer les termes , u., ,.. ., «„ (*).

On a d’abord

D’ailleurs, la différence d’une somme e.st égale à la somme des différences des parties (185); donc A«, =

puis, en ajoutant membre à membre,

(*) Dans le Programme ofliciel , ce problème e.sl ainsi énoncé : « Etant » donnésm-l-i nombres u„, u, , u, trouver: i “ l’expression du M terme général . . ». Il est à peine besoin de faire observer que l’e.rpression du terme général est «„ = o„.

it)6 ALGÈBRE.

.\ppliquant encore le même principe , on aura

et, conséquemment,

Sans qu’il soit nécessaire d’aller plus loin, on est en droit de supposer

En effet, les coefficients des différents termes, dans les valeurs de H, , «J , «3 , — se forment de la môme manière que les nombres compris dans les lignes horizontales du triangle arithmétique (H 8) ; les coefficients du développement de sont donc ceux de ( i -I- z)" ( * ) .

341. Remarque. — On peut écrire l’équation (A) sous la forme symbolique

pourvu que l’on convienne de remplacer, dans le développement de second membre , A^ par m„.

342. Problème II. — Connaissant m, , w,, . . ., calculer A , A Mj, , A U|, , . . . , A|j W||.

On a, par définition,

Att,= «3-

et, en retranchant membre à membre,

A’w„= tt,— •2w,4- (2)

Augmentant tous les indices d'une unité [**), on aura de même A’m, = «3— ajZj-l-w,;

(*) On peut aussi, pour montrer la généralité delà formule (A), faire voir qu’elle subsiste quand on y remplace n par n-H i.

(**) Ceci revient h supposer que la suite donnée commence par u^ , au lieu de commencer par u„.

ALGÈBIU:.

donc, en retranchant de AG/,,

On trouve , semblablement ,

"o = «/ — 4 «3 + b «3 — 4 «, + Donc, en général,

Pour vérifier cotte nouvelle formule, il suflit de voir si elle subsiste quand on y remplace n par // + i.

Or, la formule étant supposée vraie pour le cas d’une différence //'""% on aura

et, en retranchant membre à membre,

I jp+i (C„ H„p+ . . . q: //„. .

Mais

// /î + I ri[n — 1 ) n ( « + i ) «

donc

OU, en remplaçant // par // — i,

etc.

3i3. Re.mnrmie. — La formule (B) peut être écrite sous la forme symbolique

AL(iHBHE.

SifTèrences des fonctions.

VU. Si , dans une équation u — f{ r], on donne à la variable indépendante .r des valeur.^; arbitraires

la fonction u prendra des valeurs correspondantes

dont les différences successives dépendront, non-seulement de la nature de la fonction f[.v), mais encore des valeurs attribuées à .r : ordinairement, on suppose que celles-ci forment une progression par didérencc. Autrement dit, on fait

= ••^0 + 4- A , . . . , = .r„ + nh ,

ou, ce qui est équivalent,

A X h = const.

Bt5. Prenons, par exemple,

nous aurons Aw = — «*, ou

Conséquemment , la différence de !n fonction exponentielle (f est é^de à cette fonction midtipliêe par une constante. De là résulte, içimédiatemcnt,

\"u = (d — ij".

3i6. Soit encore ?/ = x(x-|-/() (.r q- 2/1). . .(x4-y;/i), /.» étant un nombre constant. On aura

— .r (x 4- A) . . . (.r 4-yV/ )

= (x4- A) (x 4- -iA). . . (x 4-y;A) (/j 4-

Par suite,

et enfin A'’*^' n ~ [p \)p. . . 3.2. 1 A'"' const.

A LG È mu-:. H(y

Ainsi , \° Iti jomlion x\x-\- h ). . . (.-t -+- p!^ ). tle. deg/v p -+ i, a pour (inférences successives des Jonctions entières dont les degrés sont />!, — I,. . . ; sa différence (/•' + i se réduit à

nm^ constante ; 3“ conséquemment, les différences d'ordre sujhrieur à p -é- ^ sont milles. "

3il. Ces résultats subsistent pour toute fonction entière, pourvu (pie l’on continue de supposer constante la différence de la variable indépendante. Soit en effet

i“. On aura, par le théorème de Taylor,

A U = l,f ( X) + /" (.r ) +. . . + Ajr ;

et comme les polynômes /'(.r), f"{x),. . . sont respectivement des degrés m — \ , ni — , il en résulte que la différence

première d'une fonction entière , de dc"ré m , est une fonction entiènv de legré ni — i .

Par conséquent, les degrés des différences successives AG/, AG/,..., A"'-'//, y” U sont , respi'ctivement ,

m — U, rn — 3,..., i, o.

3". La différence ///“'"* étant du degré o, c’est-à-dire étant constante ( * ) , toutes les différences suivantes sont radies.

318. Rcnuiripies. — I. Si l’on suppose la fonction A //ordonnée suivant les puissances décroissantes de x, le premier terme du iléveloppemcnt sera le produit de h par le premier terme de * /'(./:). D’ailleurs , cette fonction est divisible par h ( 222, 1 ) ; donc ,

(*) Si les quanlités , x, , . . . , ne formaient pas une progression par diirérencc, A^u serait encore in(lé[ieiidantc de la xa/ei/r i/n'/iVi/e dex; mais l’on n’aurait plus A"'u„= A"';/, = A"'h,= .... Par exemple, si l’on suppose

H = x' — 3 X -t- I , A x„ = /i , A X, = A , A X, = / , A X, = / , on aura y •>.hk , yu, — lht,

quel que soit x„.

uoo

en représoulant par B,, Bj,..., B,„, des fonctions entières de h, on aura

Po\ir les mêmes raisons, et en supposant toujours A.r — h :

et enfin

En effet , la différence doit être composée d’un terme seulement.

II. En égalant cette dernière valeur à celle qui résulte de la formule (B), on a

/(•r,4-/»A) — \h] -|-...±/(.rJ

III. En particulier, si /(j") = a-”, j„= i, A = i, on aura co résultat remarquable :

Construction des Tables numériques.

* R49. Problème. — Supposant constante la différence de la va-

riable, et connaissant les résultats de la substitution de m rmleurs consécutives de cette variable, dans une fonction entière u, du degté ni , calculer successivement toutes les autres valeurs de u.

Gonnaissant «„ u,,..., on pourra d’abord, comme on l’a vu au n** 338, former le tableau des différences successives de ces quantités, jusqu’à l’ordre m — i. D’un autre côté, à cause de Ax ~ A, on a

A„ étant le coefficient du premier terme de u. Gonsétpiemment, au

ALGÈBKE. 201

iHoj c/i d'additions successives, on jmurra prolonger indéfiniment le tableau des différences et des valeurs de la fonction u.

3Î50. Remarques. — I. Ordinairement, lcs/« valeurs attribuées à SC sont des nombres entiers consécutifs.

IL Si la fonction k, toujours supposée entière et de degré m, n’est pas donnée, sa différence m“"“ ne sera plus connue à priori. Il faudra donc, pour que l’on puisse prolonger indéfiniment fe tableau des valeurs de u, que l’on en connaisse /w -|- i.

in. On peut supposer que la progression formée par les valeurs de SC soit prolongée vers l'infini négatif (h étant positif); pour obtenir les nouvelles valeurs de « ( * ) , on prolongera , gu moyen de soustractions successives, le tableau déjà formé.

3S1. Applications. — i“. m = x*, \x = i, .r„= o. A cause de M„= O, — = 2, on formera, ainsi qu’il suit, le tableau

des carrés.

a", u — sd. Si l’on donne à x les valeurs o, i, 2, d’où «, = o, H, = I, «j= 8, on aura

Aff, = 1, A«, = 7, A’w„=6.

Par suite, à cause de b^u= 1.2.3 = 6, des additions successives serviront à former le tableau des cubes: ,

(*) Ces valeurs seraient convenablement désignées par u,, u„

■J.oy,

ALÜÈBIIE.

3". « = 5.r‘ — 7 .r’ 8 J" — i , = — -i, A.r = i . Attribuant

à X les quatre valeurs — a, — i, o, + 1, nous aurons d’abord :

Puis, comme A‘ = 5. 1.2. 3. 4 = l'^o, il nous sudira, pour continuer le tableau , de faire tous les termes de la sixième colonne égaux à 120, et d’appliquer ensuite cette règle ; ün terme qiieleorique est égnl au terme écrit au-dessus, augmenté du terme écrit à la droite de celui-ci. Nous obtiendrons ainsi les résultats suivants :

A’tt

3oo

ALGÈBRE. xoi

35â. Remarque. — La règle donnée ci-dessus permet de prolonger le tableau dans sa partie supérieure, c’est-à-dire de trouver les

valeurs de u qui correspondent à .r = — 3, x = — 4, r = — 5,

En effet , d’après cette règle , un terme quelconque du tableau est égal au terme, écrit au-dessous, diminué du terme écrit à droite. Si donc on part de la colonne horizontale répondant à .r = — a, on pourra, en appliquant la nouvelle règle énoncée, former ce second tableau:

— 3oo

Réunissant les deux tableaux partiels, on aura celui-ci, que l’on pourrait prolonger, dans les deux sens, aussi loin qu’on le voudrait ;

— 3oo

— Go

3oo

AL(ilîBRE.

EXERCICES

Uo4

I. Former les différences successives de logx, en supposant Aa’ = h.