DE L’INTERPOLATION

353. Définition. — V interpolation consiste h insérer, entre les termes d’une suite, de nouveau.r termes assujettis à la même loi que les premiers. Insérer des moyens entre deux termes d’une progression par différence ou d'une progression par quotient, c’est interpoler ( * ).

354. Quand on connaît un certain nombre de valeurs particulières d’une fonction u, ainsi que les valeurs correspondantes de la variable .r, et qu’en même temps la loi qui lie w à x est donnée, le problème de l’interpolation ne présente aucune difficulté : il consiste uniquement à substituer dans u les nouvelles valeurs attribuées à .r. Mais si la nature de la fonction u est inconnue , le problème devient indéterminé. On conçoit en effet qu’/7 existe une infinité de fonctions qui deviennent égales à des qimntités numériques données, pour des valeurs données de la variable (■** ). Ordi-

(*) Lacroix, Calcul dét-differences.

('*) Cette dernière proposition devient encore plus évidente, si l’on suppose que les valeurs correspondantes (j, , , (x,, u, ),..., u^)

soient les coordonnées de m s- i points A„, A,,..., situes dans un inôinc plan. Alors l'équation cherchée, u = f(x), représente une quel—

AI.üfcBRH.

nairemc.nl, on assujettit la fonction à ôtrc al^éhn(iuc, entière, et d’un degré inférieur d’une unité au nombre des valeurs données. Autrement dit, on particularise ainsi le problème : Trouver une fnnetion entière de .r, du degré tu, qui devienne

quand la variable .r reçoit les l'aleurs corresjmndantes

alors la fonction u est déterminée (*), et on en peut obtenir le développement par plusieurs méthodes, parmi lesquelles on distingue celles de Lagrange et de Newton.

335. Formule de Lagrange. — Si l’on suppose d’abord que les valeurs particulières de u se réduisent toutes à zéro , à l’exception de la première, la fonction u devant alors s’évanouir pour X = .r,, pour .r = ,rj,. . enfin pour x = .r„,, sera de la forme u=a{x— .r, ) (,r - .T3). . .(.r a étant une constante. De plus ,

donc

De mémo, si les valeurs données se réduisaient toutes à zéro, à l’exce[)lion de , on aurait

'(.r, - jtJ (j-,-x3)...(.r, - x„,)‘ et ainsi de suite. Or, si l’on fait la somme de toutes ces fonctions particulières , on aura une fonction

conque des courbes, en nombre infini, que l’on peut faire passer par ces points : la fonction u est donc indéterminée.

(’) Cette proposition scr.a démontrée un peu pins loin (550).