X... VI

pourv u que l’indice p ne surpasse pas m.

En effet, si l’on suppose z-» = i, tous les termes qui suivent s’annulent, parce qu'ils renferment /^ — i en facteur. De même, si l’on fait p= -2, tous les termes qui suivent le troisième s’annulent; etc.

Cela posé, si la différence de x est une constante A, les valeurs

seront comprises dans la formule

x = x^-\-ph. (a)

Éliminant p entre les relations (i) et (a), et remplaçant 7 par «, on trouve

Cette formule , due à Newton , satisfait à toutes les conditions données; car la fonction «, entière et de degré /«, devient w,, quand on suppose

X = , .r = x„ 4- , .r = x„ -4- mh.

(*) Cette démonstration, remarquable par son élégance, est due h M. Cauchy.

■ioy

357. Si l’on introduit ces dernières hypothèses dans la formule de Lagrange , on obtient

a {x - - -ih). . .{.T - - mh) \

— 'Jx — ■3^0) — -^Q— — -y.— j

^ », (.r— .r,— /<)(.r— .r„— 3//). . .{x—x^—mh) \ (C) h"‘ 1.1 .1 {m — 2 ) l

^ (.y — -rj (.r — .f„ — A). .. — \h) 1

h'" rn.{rn — i)...i ’ /

en prenant les signes supérieurs si m est pair.

Au moyen de la proposition suivante , on s’assure que la nouvelle relation ( C ) est identique , au fond , avec la formule de Newton , bien qu’elle en diffère par la forme.