Al^CibbUL

(|U0 cr iJiii/it \ csl rrlfii tin/if l'tihsriitsr y. J [.r) île

méine signe (*). Nous aurons ()T — (XI -t- CT,

^ UL — -s

rw)

9.". Menons la corde AB, qui laisse d’un nu'me côté l’arc ARB, puisque celui-ci esl convexe. Le point S, où AB coiqie l’axe des al)scis.ses, partage CD en deux segments proportionnels à AC, BD;

doue

Sn ^ CI) :

BD + ACn^C'^' )-/(*)

Par suite, en désignant OS par [3, ,

/(fl) -/i>i

Les formules { ‘li et ( 3 ) résolvent oom|)lélemenl la question proposée : eU'ectivement, le paint-rncinc K est comfiris entre les points T, S, et ceux-ci sont compris entre C et D.

3(>9. Limite île l’erreur enmmise. — La racine inconnue « étant comprise entre a, et [3,, la différence p, — a, sera une limite de l’erreur à laquelle donne Heu la méthode de Newton. Or,

/•(ft)-/TT)]

Æl

Pour simplifier celte expression , observons que

donc, en posant

f{y.) if"'(y^)

{*) Considérons, par exemple, lît Jtg. I. L’arc AB tournant sa convexité • vers le haut, y" (x) est constamment nêpntive, et la courbe est au dessous de sa tangente. Donc la tangente au point B, dont l’ordonnée est positive, tomberait en dehors du triangle BBD. Au contraire, la tangente au point A, pour lequel l'ordonnée csl négative, esl située dans le triangle

CAU ; Ole.

auron.s

AU;i:i{H \i.

on nilin , à ('ansn (io h =r — ^ ^ ^ ;

vi“)

== - îh

370. La formule ( î) nous permet de résumer, dans les termes suivants, la marche à suivre pour approcher indéliniiinml d’une racine c/ de l’écpialion /(a ) = o, après que cette racine a été sépartkî :

Co/innissdiit (Icu.r (jiumtitcs x, [î, eulrv Ir.uiKclIt's tombe la ruehtc (i, et <1111 ne comprennent cmenne met ne , soit de — o,

soit (le f” [,r) = o, on tlesignem jxtr x celle de ces deux limites (/ni rendent f{.e) et de meme si^ne ; et, inntr neoir une

valeur plus approchée x^, on emploiera les formules

En désignant ftar i la di{j'érence jjositire ou /a’f'atâ’e [h — x, c'est-à-dire rajjpro.rimation (*) de x, et par à, l'approximation de y.,, on aura

(A) a, = a 4- A. (Bl

/'(al4-e^(a)

( ’ette Jormule , dans latpielle y ( a ) reptvsente

indiijue aussi à <piel déféré d' approximation on doit calculer h.

Opt'rant sur a, comme on a opéré sur a, on troueera une valeur a^ encore plus approchée de la racine a; et ainsi de suite.

373 . dpjdieation. — Nous allons faire usage de la méthode précédente pour calculer la plus grande racine de rwpiation

A/ipruximatioii tir a sigriiilie ici :■ Umile de l’erreur commise en prennnl y. nu lieu dr n .

On a vu ci-dessus (363) que cette racine est comprise entre i,35 et 1,36. D’ailleurs, quand x varie entre ces limites, /'(j") = — 7

reste constamment négative, elf[x) = 6.r reste constamment positive ; la méthode de Newton est donc applicable. En outre, la première limite i,35, rendant /(x) et/"(.r) de même signe, nous prendrons a = i,35, d’où « = 0,01. Cela posé, le tableau de la page 2i5 donne /(a) = 0,010375 ; et l’on trouve, par la substitution directe,

/'(«) = - 1,5325, ^(a) = ^Vs{^=4,o6.

Substituant dans les formules (A) et (C), nous aurons donc

Le premier facteur de s, est à peu près égal à ; l’autre

est moindre que 3; donc e, < 0,0002. Ce résultat montre qu’il suffit , dans ce premier calcul , de déterminer les trois premières décimales de la valeur de h : si l’on en calculait quatre, on ne serait pas sûr de la dernière. Effectuant, on trouve

puis «1 = 1,356, £, = 0,001.

Ces valeurs donnent

Par suite '

1,326016 4io69 ^

*. = — ^ — r-77- < 0,000 oo3.

(*) U est à peine besoin de faire observer que ces dernières quantités , au lieu d’ètre calculées directement, pourraient se déduire des valeurs '•«/(“)./'(«) > clr-

ALGÈBRE. 22t

D'après cette nouvelle valeur, on doit évaluer /tj à moins de 0,000 01 : /tj= 0,00089; puis

On trouve, de la même manière,

f[y.^)z= 0,000008664087 769, /'(xj) = — I, 476 548 583 7,

A3 = O ,ooooo5 867, Xj = 1, 356 895 867, 63 = 0,000000001; /"(aj) = 0,000000001 3i7 347 970813679 363, y'(«j)= — 1,476500818354954933, '}>(«3) = 4,070687602;

Cette valeur de la racine est exacte jusqu’à la dix-septième déci male.

Séparation des racines , par la méthode de Newton.

37®. La méthode de Newton, ou plutôt la construction de la courbe dont l’ordonnée est/{.r), permet presque toujours d’effectuer très-simplement la séparation des racines réelles de /(.r) = o, ou de reconnaître que cette équation a des racines imaginaires, non indiquées par le théorème de Descartes.

Remarquons d’abord que la véritable difficulté du problème se réduit, le plus souvent, à reconnaître si deux (juanlités x-, p, qui , substituées à x dans f{x), ont donné des résultats de même signe , comprennent entre elles deux racines de J[x) = o , ou si elles n’en comprennent aucune.

Cela posé, si la première dérivée, f'{x), ne changeait pas de signe entre .r = x et .c = [^, f{x) serait constamment croissante

ALGLIBU K.

ou constainiiiont lUinoiSïmuUulaiis le inèiiie iulervalle; et, juiis^iuo /l a) et /l /) sont (le rruhiie si;xno. cette fonction ne pourrait pas s’annuler. Autrement flit, si /’ér/italio// f'[.r) = o rt’avait nucunc racine entre a et ® , H en serait (h même pour Pêfj nation proposée, fi.r) — O.

Le cas où l’équation dérivée, f'{.r) = u, n'aurait aucune racine entre a et étant mis de cété. nous admettrons ipie cette étpiation a une seule racine comprise entre ces deux ipiantités : si elle en avait plus d’une, on remplacerait a et p par d’autres limites, plus resserrées.

Lnfin, nous admettrons encore que la seconde dérivée, /"f.c) , conserve le même si^ne entre x — a et x = p : ceci revient à supposer que la courbe représentée par v=/(.t ) est convexe entre les points ayant a, 5 pour abscisses.

373. Soient A, B ces deux points)*); soit -\MB ou A\B l’arc qui les joint, et dont la forme est encore inconnue ; il s’agit de .savoir si ccl arc coupe en deux points l’axe des ab.scisses, ou s’il ne le coupe pas.

Appliquons, aux deux limites a, / la formule de Newton, c’est-à-dire calculons les deux sous-tangentes CS, DT. Kn supposant, comme cela aurait lieu sur la figure.

nous aurons, j)0ur les valeurs absolues de ces sons-tangentes.