XX — / = O
En effet, en représentant par r le premier membre de la nouvelle équation, on reconnaît immédiatement que:
i". La fonction y reste continue et croissante à partir de
2°. Cette fonction, négative pour x = i 4-e, est positive pour X = -x.
Par conséquent, l’équation (2)3 une seule racine positive, comprise entre i et 2.
377. Pour approcher de cette racine, donnons à x les valeurs i,i et 1,2; nous trouverons:
Pour x=i,i, 7=2,2 — /21 = — 0,844522437...,;
Pour a: =1,2, 7=2,4-^11=4-0,002104727
La racine est donc comprise entre les deux nombres substitués, et beaucoup plus près du second que du premier.
D’ailleurs ,
et chacune de ces fonctions conservant son signe à partir de X = I 4-s, la méthode de Newton est applicable (370).
Faisant a = 1,2 dans la formule
nous aurons h — — 0,000 32
Ce résultat permet de supposer que la racine est comprise entre
(*) Suivant l’usage , la lettre c désigne une quantité positive trèspetite.
(**) La limite i|2 étant déjà fort approchée, nous ne suivrons pas la règle qui consiste à choisir la limite pour laquelle y(T) et f t^x') sont de même signe.
1,19967 et 1,19968. Efféctivement ,
donne
7= 2,39934 - log /.io{*) = — 0,000106788;
donne
7 = 2,399 36 — log X /. 10 = 4- 0,000008999.
Une nouvelle application de la formule de Newton montre que la racine est comprise entre 1,199678 et 1,199679. La substitution de ces valeurs donne ensuite :
pour X— 1,199678,
7= 2,399356 - log^^^^/.io = - 0,0000044..., pour x= 1,199679,
y = 2,399 358 — log /. 10 = + 0,000 002 2
378. Si nous appliquons actuellement les formules (2) et (3) du n“ 368, en y supposant
nous aurons
/(a) = — 0,000 004 4) /(P) = 0,0000022, l®Sy {^) ~ ^ a J ) ( ^ I 1 ) ~
puis
P, = ï, >99679 — 0,000 001 • gg = 1,1996786666;
et enfin, avec huit décimales exactes,
(*) Les Tables de Callet ne donnant pas les logarithmes népériens des nombres supérieurs à 1200, il est nécessaire, pour continuer le calcul, d’employer les logarithmes de Briggs comme intermédiaires.
Alj(iiiBUE.
379. E\emi’1.e II. — Dctrrnünt'r le coeffu ienl a, de numièrc (jue ré(juiilin>i
e^ + e~ — ax = «> ( i )
ait deux racines égales.
En général , on dit qu’««f ê(juation transcendante f { ,c) = o a deux racines égales à x , t/iiand la (juantité x annule , en même temps, f{x) etf'{x) (*).
Cela posé , la dérivée du premier membre de l’équation ( i ) est f'[.v) = — a.
Égalant cette quantité à zéro, nous aurons à déterminer a par la condition que l’équation
ait une racine commune avec la proposée (i).
L’élimination de a donne
ou
Cette équation est précisément celle que novis avons considérée dans l’exemple I : elle a pour racine
11 resterait donc à substituer cette valeur dans la formule
mais il sera plus commode de prendre celle-ci :
(pie l’on tire aisément des équations (1) et {2). Elle donne, au moyen des Tables logarithmiques,
(*) 11 est évident que la délinition des racines cifalcs, fondée sur la considération du plus grand commun diviseur, n’est pas applicable , en général , aux équations transcendantes. '
ALGKBHt;. -^31
380. Jiciiia/yitr. — L’équation ( i ) auia riH incs p<t\Hhcs inv^nlcs tant que le cocllicient a sera supérieur à eette dernière valeur; elle n’en atira aucune dans le cas contraire. Par exemple, l’équation
n’a pas de racines réelles.
