Exemple III. — Kcsainlrr rth/tuitin/i

Il — r sin H = ( i)

ru siijipimint

La résolution de l’équation (i) constitue ce qu’on appelle, en Astronomie , le Problème de Kepler : e est Ve.rceiitricieé d’une planète; II, \ anomalie cxcentrUpie ; le moyen mouvement.

.\vantde chercher la valeur de ii, remarquons que, e étant un nombre, on devrait, pour rendre l’éciuation homogène, exprimer l’arc t en-parties du rayon i; et alors l’arc a serait également exprimé en parties du rayon. Mais il sera plus commode d’évaluer, en parties de la circonférence , l’arc z dont le rapport au rayon est la fraction c. Or, l’arc équivalent au rayon a pour valeur

donc

382. Pour calculer la valeur de a, nous emploierons d’abord la méthode des approximations successives, dont on a vu un exemple dans le second degré (31).

Négligeant d’abord le terme csiiiH, ou plutôt zsin;/, nous aurons

Cette valeur, substituée dans (i), conduit à /q — s sin«„-(- ?. (3)

CA?lle-ci donne , de la même manière ,

/q - r sin/q -f- Ç, (1) puis /q = Z sin <q-f- ï , (5)

etc.

Le calcul logarithmique donne ensuite

. logz = 1,1478488 log(— sinwp) = logsinSo” 1 5' 32", 34 = 1,7023525

o,85o2oi 3

zsinM, = — 7°, 08 274= — 7° 4^ 5", 864 u^ = 322“ 40' 21", 80

logz = 1,147 848 8 log ( — sin M, ) = log sin 37“ 19' 38", 2 = i ,782 735 6

Z sin K, = — 8°, 522 83 = — 8° 3i' 22", 188 tt, = 321® i3'5",47

logz = 1,147 848 8 log( — sinttj) = log sin 38" 46' 54", 53 = 1,796821 5

zsin «J = — 8°,8o3 80 = — 8"48'i3",68 Mj= 320° 56'i3”,98

logz = 1,147 848 8 log ( — sin «,) = log sin 39“ 3' 46", 02 = i ,799 458 8

zsin«3= — 8° 85743 = — 8°5i' i8",75

383. Pour continuer le calcul, nous ferons usage de la méthode de Newton , en prenant

Nous aurons

y(aj = « — Z sin a — Ç =

320° 53'+ 8° 52' 3", 68 — 329°44'27",66 = 36", 02, /'(a) = I — ecosa (*) = i — 0,190 332 = 0,809668;

(*) La dérivée étant un rapport, s doit être remplacé par e. Du reste,

si l’on fait « = u , et que l’on calcule ? on arrive à la même

valeur de h.

puis

La valeur de la racine cherchée est donc, à moins deo",oi,

38i. Exemple IV. — Résoiulrc Inéquation (*)

y + 2 (tt — !j)) sin’ ^ f — sin^ = ^ • (i)

On peut d’abord la simplifier en posant r — y = x, et en remplaçant 2sin’ par i — cosp = 1 + cos.r. On obtient ainsi

sin X — X cos X

Si l'on représente par / le premier membre de cette nouvelle équation , on aura

j>-' = xsin.r. (3)

Par conséquent , la fonction r a une injinité de maximums et de minimums, déterminés par sinx = o, ou x = X tt, k étant un entier quelconque, positif, négatif, ou zéro. D’ailleurs, pour