DEGRÉ
Équations à trois inconnues.
Li. Considérons d’abord lo cas particulier de trois écpiations entre trois inconnues. Soient
rt.r4-/-»r 4-C3 =<l, (i)
ces érpiations, «, b, c,... représentant des quantités connues. Pour trouver rapidement les valeurs de .r, y, 3, multiplions l’équation (1) par une iiuletcrmint-e \ (*), ré<jualion (2) par une
(*) Ce procédé icni.irqu.nhlo, connu sous le nom de mcihodc dis inddtrrmini'cs, est .tUribuc à Rczoul.
ALGÈBRE. Il
indéterminée À', et, de la somme des produits, rtlranelions l’équation (3); nous obtiendrons
+ (lc-\-Vc'-c")z = ld + y'(l'-(l\ )
Quand a et À' ont des valeurs quelconques, cette équation (4), qui peut remplacer une des projwsécs ( R. , Alg.^ Go ), est plus compliquée que chacune d’elles; mais on peut disposer de ces indéterminées de manière à faire disparaître deux des inconnues, et à tirer de cette même équation [^) la valeur de la troisième inconnue. Si, par exemple, nous voulons obtenir la valeur de x, nous poserons
\hSr\'b'=b% (5) ).c-|-Vc'= c"; (6)
l’équation ( 4 ) nous donnera
lfl-\-Vd'- d” , .
Xc-f-Vc'-c"’
et il ne restera plus qu’à substituer, dans cette formule, les valeurs de > et de À', tirées des équations (5), (6).
Or, la règle connue donne
. c"b'- b"c' ,, cb"-bc\
cb' — bc' ’ cb' — bc' '
donc
dib'c”- c'b") -1- d' (b"c - c”b) -f- d“(be'- cb')
a[b'c"- c'b")-\-a'{b’‘c - c"6) 4- a"{bc’- cb')' ou
__ db'c"- dc'b"-^ cd'b"- bd'c”-\- bc'd"- cb'd" ab'c"- ac' b" A- ca' b"- ba'e” -|- bc' a" - etPh"’
A cause de la symétrie des équations (i), (2), (3), les valeurs de Y et de 3 se déduisent de la valeur de x par une simple permutation tournante', en sorte que les formules cherchées sont
• d[b'cJ'-c’b")-^d'{b''c-c''b)^d''{be'-cb') \
- a [b'c"— c'b") -1- a' \b"c - c" b) 4- «" [bc’ - cb')' i
d[c'a" — a'c") -\-d'[c"a — a"c)-hd"[ca' — ac’) f , . “ b [c'a"- a'c") 4- b' (c"a — a"c) 4- b"[ca' - ac') ’ (
d{n'b"- b' a") -1- d'{a"b-b”a]+d"[ab'- ba') \
“ “ <■ [a'b"- b' a") -4 c' [a" b - b"a) 4- c”(ab'- ba')' I
ALGKBBE.
ou
dh'c" - (k'b”+ al' h"- hd’r''-V-hc'd"- vb' d" , ab'c"- ac’ b" + ai' b" - bu' c" + bc' a" - cb' « " ’ j . od'c" - ac'd"+ai'd^- da'c"-^ de' a" - cd'a" [ , , , ^ ,
^ “ ab' c" — ne' b" + en' b" - bn' c" + bc' a" - cb' a" ’ / ^ '
ah'd"- ad'b"^ dn'b"- bn'd"-^ bd' a"- db' a" \
^ - nb' c" - ac' b" + en' b" - bn' <■"-(- bc' n" - cb' a" ' '
Ses déterminants.
15. Avant de passer au cas d’un nombre quelconque d’équations, nous donnerons quelques notions sur les fonctions alternées ou déterminants.
i". Avec les lettres «, A, formons les deux permutations [**) ab, ba , et interposons le signe — , nous aurons
ab — ba.
Dans chacun des termes du binôme ah — ba , introduisons la lettre c à toutes les places , en commençant par la troisième , et en ayant soin d’effectuer un changement de signe chaque fois que la lettre c change de place dans un tenue ; nous formerons ainsi le polynôme
abc — acb + cab — bac -1- ben — cba.
Dans chacun des termes de ce polynôme, introduisons la lettre d à toutes les places, en commençant par la quatrième, et en opérant un changement de signe chaque fois que cette lettre change do place dans un terme; nous obtiendrons le polynôme suivant, formé de vingt-quatre termes ;
abcd — nbdc + adbc — dahc — achd aedh — adbc 4-. . . .
Dans chacun des termes de ce nouveau polynôme , introduisons la lettre e , etc.
2°. Quel que soit le nombre des termes du polynôme auquel noys nous arrêtons , mettons un à chaque deuxième lettre, deux
(*) Les formules (8) se prêtent aux applications numériques mieux que les formules (9). En clfct, celles-ci nécessitent 4t multiplications, elles autres, seulement Qi.
(**) Voir plus loin la théorie des arrangements , des permutations et des combinaisons.
ALGÈBRE. i3
accents a chaque troisième lettre, et ainsi de suite; nous obtiendrons les quantités suivantes :
ab' — bd\
nb'c"— ac'b"-{- en' b"— ba'c”-^- bc'a"— cb'a", ab’c”tr-ab'd''c"'->rad'b''c"’-(Ûi'b’'c'”-ac'b''d”-^ac'd”b"'-...
première est le déterminant des quatre, quantités
fl, &,
fl',
la deuxième est le déterminant des acm/ quantités
fl, b, c,
fl', //, c\
