Le déterminant A des quantités

bji • • • )

donne lieu aux remarques suivantes ;

i“. Si F un fait abstraction des indices et des signes, les termes de A sont les permutations que Pon peut former avec les lettres a, b, c,..., A, /(**).

2". Un terme rpielconque a le signe -f- ou le signe — suivant que ce terme contient un nombre pair ou un nombre impair d’i.\- VERSIO.NS ALPHABÉTIQUES.

Cette propriété se vérifiant sur les déterminants développés plus haut, il suffit de faire voir que si elle a lieu pour un déterminant

(*) Pour plus do régularité, nous remplaçons les accents par des indices.

(*•) On peut conclure de là que le déterminant do n* quantités contient un nombre de termes égal à i.a.3...(n — i)n. D’ailleurs, chaque terme est un produit de n facteurs; donc le calcul de ce déterminant exigerait i.e.3. . .{n — i)n.(n — 1) multiplications.

i4 ALGÈBRE.

dont les termes renferment chacun n — i lettres , elle subsiste pour le déterminant formé de celui-là.

Or, quand on introduit la lettre / à la n'‘”“ place, dans un terme contenant n — i lettres, on n’altère pas le nombre des inversions alphabétiques, mais on conserve le signe de ce terme (15, i°).

Quand on fait passer la lettre / à la (« — i)'*"" place, on introduit une inversion. En même temps, on change le signe (15, i“), de façon que si le terme avait d’abord le signe -f-, c'est-à-dire s’il présentait un nombre yWr d’inversions , il a ensuite le signe — , et il contient un nombre impair d’inversions , etc.

3°. Si, en faisant abstraction des indices, deux termes de A diffèrent seulement par un simple échange entre deux lettres, ces deux termes sont de signes contraires.

Pour fixer les idées , considérons deux termes qui ne diffèrent que par l’ordre des lettres/, r; dans l’un, la lettre c occupe le j/cme avant la lettre f ; dans l’autre , c occupe le rang après f. Pour passer du premier terme au second , il suffit de faire reculer la lettre / en lui faisant occuper successivement p places, et de faire avancer ensuite de (/> — i) rangs la lettre c. Chaque déplacement introduit ou fait disparaître une inversion ; et comme le nombre total de ces déplacements est -xp — \, c’est-à-dire un nombre impair, les deux termes considérés présentent , l’un un nombre pair et l’autre un nombre impair d’inversions, lis ont donc des signes contraires (2°).

4“. Si, dans tous les termes de A, on remplace une lettre par une autre, sans faire le changement inverse, le polynôme S s'annule.

Changeons, par exemple, c en/, sans changer/ en c. Avant ce changement, le pohmôme A était composé de binômes différant seulement par l’ordre des lettres c, / ; donc , après le changement, les deux termes de chaque binôme sont égaux. De plus, ils ont des signes contraires (3“); donc A= o.

17. Dans le déterminant A, groupons tous les termes qui renferment tous les termes qui renferment enfin tous les

termes qui renferment a^. Nous pourrons écrire

A=yi,A,- c/,A,-4-«,A3— ... ±r/„A„, (10)

en représentant par A, un polynôme ipd ne renferme ni la lettre a ni l’indice i, par A.^ un polynôme cpii ne renferme ni la lettre rt

ALGÈBRE. i5

ni t indice a , etc. Semblablement

A= +(c,C,- CjC^+c^Cj— ... ±c-„C„), (

B, est un polynôme qui ne contient ni la lettre b ni Pindice I, etc. (*),

18. On conclut de ces valeurs, et de la dernière propriété démontrée ci-dessus (16, 4”),

O = c,A,- CjAj-f-CjAj- ...±c„A,,

O = fl, B, — fl^Bj^ fl3B3 - . . . ± fl„B„, o = c, B, — 036,-4- C3B3 - . . . ± c„B„ ,

Règ;Iet de Cramer.

19. Soit actuellement un système quelconque d’équations du premier degré , en nombre égal à celui des inconnues. Nous pourrons le représenter par

«,x,-l-è,r3-l-c,X3-l-...-l-4vr„,-)-/,x„= \

a^x^-hb^x^+c^x,+ ... + k^x„^ + l,x^= u^, I

Pour obtenir la valeur de x^ , multiplions la première équation par A,, la deuxième par — A,, la troisième par A,, etc., et ajoutons membre à membre. Nous aurons, à cause des relations (la),

fl, A, tl^k^ fl3 A3 • . • i

(•) U est facile de voir que tous ces polynômes sont des déterminnnls; mais cette propriété est étrangère à noire objet. I.e lecteur pourra consulter des Recherches sur les déterminants , insérées dans le Rullriin de l’Académie de Relgiifue , tome XIII.

Le même calcul donne

20. Ces valeurs mettent en évidence les deux règles suivantes, découvertes par Cramer, et démontrées par Laplace.

Première règle. — Les valeurs qui vérifient un système qucleonque (V équations du premier degré, entre un pareil nombre d’inconnues , ont pour dénominateur commun le déterminant des coefficients des inconnues dans ces équations (*).

Seconde règle. — Le numérateur de la valeur de chaque inconnue se déduit du dénominateur commun, en remplaçant le coefficient de cette inconnue par le terme connu correspondant.

EXERCICES