DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES

380. Une fravlion rtnioiiiicllc est une expression tle la forme

dans laquelle les deux termes /(.ri et F(.r) sont des po-

lynômes entiers. Nous suppo.serons , dans ce qui va suivre, que la fraction a été réduite à sa j/lus .sinijih’ (‘.rjjrrssio/i , ou (pie/(j' l et F(.r) n’ont plus aucun facteur commun. Nous supposerons, on outre, le degré /« du dénominateur supérieur au degré du numérateur. Si le contraire arrivait, on diviserait le nuinéraU^ur par

ledénorninaleur, et on mettrait la fraction sous la forme Q

0 étant un polvnôme entier, et ( >ine nouvelle fraction satis-

faisant à la condition énoncée.

(*) M. fierlrand trouve x — /|g3 /jOg 4-58 : rette derniôro vuloiir est protialdeinent plus exacte guc l'autre.

(**) Los ciii»} clcriiiorcs guostiuiis sont tircos d’uii savant Mémoire de M. I crqucni, inséré dans les Nowcllrs initiiirs île Malhénuiliqucs.

Cas des facteurs inégaux.

387. Cela posé , si l’on connaît les facteurs x — a, a: — b, X — c,..., X — A, .r — / de F (.r) , ces facteurs étant d’abord

supposés inégaux, on peut se proposer de décomposer

en

une somme de fractions simples, ayant pour numérateurs des constantes K,L, et pour dénominateurs x — a,

x — b, X — c,, . X — A, X — de manière à avoir, quel que soit X,

f[x) A B . KL

La question consiste à déterminer, s’il est possible, les numérateurs A, B,. . L.

388. Première méthode. — Si on multiplie les deux membres de l’égalité (i) par le dénominateur F(j7), le second membre deviendra un polynôme entier, du degré /« — i , contenant les inconnues A, B, C, . . . K, L au premier degré, et que l’on pourra ordonner par rapport à x. D’ailleurs, le polynôme /(.r) est, au plus, du degré m — i. Si donc, pour idcnti^cr\ei deux membres de la nouvelle égalité, on égale les coefficients des mêmes puissances de .r, on aura m équations du premier degré entre m inconnues.