Application. — Soit
■tr ■+■ i
Chassant les dénominateurs, et ordonnant le second membre, (*) Pour justifier celle lenlalive de décomposilion , il sulBl d'observer
que la somme de m iraclions de la fornic » ; ? • - -,
X — Il X — b X— »
donne lieu ii une fraclion rationnelle dans laquelle le dénominateur est du degré m, et le numérateur d’un degré inférieur à ru. Par exemple,
donc, réciproquement, celte dernière fraction est décomposablc en fractions simples.
nous aurons
Par suite, A + B + C=i,
puis B = — I, A = C = i; etc.
390. Le procédé que nous venons d’indiquer est connu sous le nom de Méüwdc tics coefficients indéterminés. Très-commode quand le dénominateur F(.r) est du deuxième ou du troisième degré, il devient impraticable dès que le nombre des fractions simples cherchées surpasse cinq ou six. En outre, cette méthode est incomplète , parce qu’elle ne prouve ni la possibilité de la décomposition essayée, ni X impossibilité de toute autre décomposition; en effet, rien ne démontre à priori que les inconnues A, B,..., K, L seront finies et déterminées. Mais il est aisé de la modifier, de manière à la rendre complètement simple et satisfaisante.
391. Deuxième méthode. — Reprenons en effet l’égalité (i), après avoir multiplié les deux membres par F(x); nous aurons, en représentant par F, (x), F,(x),..., F„(x), les quotients de F(x) par X — a, X — b,. . ., x — /,
f{x) = AF,[x) + BF,ix)+...-yL¥„{x). (2)
D’après un principe démontré (358), les polynômes composant les deux membres de la nouvelle égalité seront identiques, s’ils deviennent égaux pour m valeurs de x (*). Or, si l’on suppose X = a, les polynômes Fj(x), F,(.r),. . ., F„(x) s’annulent, parce qu’ils contiennent le facteur .r — a, et l’égalité devient
d’où
f{a) = AF,(«),
Ûfl.
De même , en faisant x = b, on obtient
Æl.
F,{by
(*) On ne doit pas oublier que le second membre est du degré ni — i, et le premier membre, du degré m — 1 au plus.
2^8 ALGEBRi-:.
et ainsi do suite. Par conséquent, imir ubtviur Iv ntimératt-ur de
la fraction
correspondant à un facteur iptclconcpte x — g de
F ( .r ), on divise F ( x ) par x — «• ; et, en représentant par ^ ( .c ) le
(piotient, on remplace x par " dam
392. Rcmartpies. — I. Il résulte, du principe rappelé tout à l'heure, que si l’on donne aux coefîkicnts \, B,. . ., 1. les valeurs
résultant de cette règle, l’égalité (2) aura lieu, quel que soit x. Il en sera de même, évidemment, pour l’égalité {i). Donc l/i décomjiosilion projmsée est possible.
II. Jm décomj>osition n’est possible que d’une seule manière.
Admettons, pour un instant, que la fraction décom-
jxisable en -
-7- -H. . ., les dénominateurs
X — a', r — b\ X — c',. .. étant tous différents de x — r/, x — b, X — c,. .. . Il résulterait, de cette hypothèse.
Multiplions les deux membres par x — «' et faisons ensuite
X = a' : nous trouverons o = ; donc la fraction r ne peut
pas faire partie de la décomposition essayée. On prouverait, de la même manière, que l’on ne peut avoir
les numérateurs A', B', G/,. . . différant, en tout ou en partie, dee premiers numérateurs A, B, C,. . . .
393. Troisième méthode. — .\u moyen d’une reraartiue due à Euler, on peut se dispemser de diviser F(.r) par./- — rq x — /q..., .r - /.
En effet , l’identité
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ALU i:BUK.
donne F ( .r ) — { .r — v' ( .r ) v ( .r ) ;
et . en rompla^'ant .r par g-,
n - ZM.
Par suite ,
On peut donc modifier ainsi l’énoncé précédent :
Pour obtenir tes mimérateurs des fractions
dans lesquelles se. dèeomnose > on prend la fraction Zilf.* .
' ' ^F(.r) ' • F Ui')
et on Y remplace x successicement par a, h, c,. . . .
39i. Application. — Soit
(tn a
Donc
comme ci-dessus.
Cas des facteurs é§:aux.
39o. Supposons à présent que le dénominateur F(.r) renferme des facteurs égaux entre eux, et qu’il soit égal, par exemple, à (.r — fl)''F, (.r), F, (.r) étant le produit des facteurs simples ou multiples de F(x), autres que x — a.
Si l’on considère, pour un instant, la fraction
on pourra, d’après ce qui précède, la décomposer comme il suit ;
A étant une constante et./] (.r) un polynôme entier. En effet, on aura d’abord (391), A^,= -j— j ; et, d’un autre côté,
Ai-f) =
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•x^o ALGÈBRE.
est un polynôme entier, attendu que /(x) — A^F, (,r) s'annule pour X = a (12) (*).
Cela étant, divisons par (x — ny-' les deux membres de l’égalité { 3 ) ; nous obtiendrons
(x-rt)'>F,{x) (x-«)'’^(x-fl)'>-'F,(x)
Ainsi, la fraction proposée est décomposablc en une fraction simple A
de la forme et en une nouvelle fraction rationnelle
dont le dénominateur ne renferme plus que la puissance {p — \) du
facteur x — a. •
On peut raisonner sur celle-ci comme sur la fraction primitive,
et l’on obtient, successivement;
(x-fl)»’-'F,(x)“ (x-fl)"-'
(x-fl)P-’F.(x)
fA^) K-2 ,
(x — F, (x) (x — fl)'’"’
(x — fl)P"’F, (x)
^ A, /„(x) (x — «)F,(x) ,r — rt’^F,(x)
Par suite,
/(x) ^ A A, I K , fp{^)
On voit donc que la présence du facteur [x — ay, dans F(x), donne lieu à p fractions ayant pour numérateurs des constantes, et jMur dénominateurs x — a, (x — [x — a)'’. D est bien
entendu que si F, (x) est divisible par (x — Z^)’, on^. obtiendra pareillement des fractions de la forme
X — if
et ainsi de suite.
(*) Le numérateur y(r) peut être de degré plus élevé que le dénominateur (* — a)F,(x): cette circonstance n’inOuo en rien sur la possibilité de la décomposition indiquée.
ALGEBRE. 24»
Occupons-nous maintenant de la recherche des numérateurs A,,
Aj, . • • , Ajj.
396. Première méthode. — En multipliant les deux membres de l’égalité (5) par F(x), et posant, pour abréger,
(x) = A, {.r — fl) A, (x — fl) '’-’-t- , . . + A^ , (x — fl) -I- A,,, (6)
nous obtiendrons
/(x) ='F(x)F,(x)-t-(x-fl)''/^(x); puis , en prenant les /? — i premières dérivées :
/'{x) = T(x)F,(x) + 'F'{x)F,{x)+ etc. (*),
/''(x) = 't^(x)F':(x)4-2M'(x)F',(x)+r'(x)F,(.r)-fetc., /"'(x) = 'F(x)F7(x) -f- 3'F'(x)F; (x) 4- 3'T'’(x)F', (x) 4-'F"'(x)F,(x) + etc.,
Dans les p égalités ainsi formées, remplaçons x par a; nous aurons
/(fl) = 'F(fl)F,(fl),
/'(fl) = 4(fl)F.(«) + 'F'(fl)F,(.fl), '
/" (fl) = 'L ( fl )F; (fl) + 2 4' (fl) F. (fl ) + H'" (fl ) F, (fl ),
Mais, par la formule (6),
H^(fl) = Ap, 'T'(fl) = i.A^„ ^"(fl) = 2.i.A,.„
T'"(fl)= 3.2.1. A,3,...;
donc, finalement,
/(fl) = A^F,(fl), /'(fl) = A^F'.ffl) + i.A,,F,(«), /”(«) = A^F”: («) 4- 2. 1 . A^. F', (fl) 4- 2. 1 . A,,F. (a).
La première équation donne A^, la deuxième, A,,, ; et ainsi- de !» suite. '
(*) Il est inutile de développer les dérivées de (x — parce
qu’elles s’annulent, aussi bien que celte fonction , pour x = a.
^42 Al.GkBlUi.
397. lit'indryiic. — Le polynôme F, (a ) ne contenant pas le facteur j; — n, F, («) est dil'fércnl de zéro; donc les valeurs de Ap, Ap, , A^, sont Jînie.i rt dêtcrminrex. En outre, comme f\a) n’est pas nul, la valeur de A^, est différente de zéro; donc /«
fraction , — -‘’—r existe neeessni renient.
' ( jr — a f
398. Deuxième méthode. — En multipliant par (.r — a)’’ les deux membres de l’égalité (5), prenant les dérivées successives et faisant x = a, on trouve des équations que l’on peut écrire sous la forme abrégée
et qui font connaître, séparément, les numérateurs A^,
Ap^j, Malheureusement, le calcul des dérivées successives de
la fraction représentée par toujours fort com-
pliqué.
