aA, (x — i)4-AJ(x’ + x) + etc. J

7. = 2jA, (x — i)’ 4- A,{x — i) 4- A,] J 4- 2[2A,{x — l) + A,](2X+i) I (3)

-|- 2 A, (.r’ 4- x) 4- etc. )

Pour .r = I, ces trois égalités se réduisent à

i = 2Aj, 3 = 3A3 4-2Aj, 2 = 2 A34- 6A„ 4- 4 a,.

Deuxième méthode.

^ 4" etc .

= A,(x — i)’4- A,(x — i) 4- A34-etc. (4)

= ^ A. ‘ etc. ,

^ = 2A, (x — i)4“Aj4-elc. (5)

(■r’4--^-)’a- (2x4-i)2(j.-’4--r)(ax4-i) ^,,44. cle (x»4-x)' ‘ ' ■’

ou 2 P = 2 A, 4- etc. (b )

Faisant X = 1 dans les égalités (4), (5), (6), nous obtenons, immédiatement ,

Aj— Aj , A,-

Troisième méthode. — En i cmplaçant x par 1 4- s dans

ALGKlJRli.

on a d’abord — : — ^ Par la division, on transformo celle

fraclion en

Donc

' Cas des facteurs imaginaires.

402. Dans ce qui précède , rien ne fait supposer que les quanlilés a, h, c,..., racines de l’équalion F(j:) = o, soient toutes réelles. Si, {>armi ces racines, il s’en trouve d’imaginaires, les facteurs qui leur correspondent aurout la forme (.r —x — p ^—lY, et ces facteurs donneront lieu à des fractions

X — 0L—p\/ — 1 [x — a— py/— i)

dont les numérateurs seront imaginaires.

En supposant que les polynômes /(x), F(.r) aient tous leurs coefficients réels, on peut, ainsi qu’il suit, faire disparaître les imaginaires, ou plutôt se dispenser de les introduire dans le calcul.

403. Fnctf’iirs imngitiaircs simples. — Considérons d’abord le cas où l’équation F(.r) = o admet une racine imaginaire simple, a + P\^~i- Puisque cette équation a ses coefficients réels, elle admet la racine conjuguée a — p\/— i (25o). Nous aurons donc

^(•^) X — a — P \/ — I .r — x + Sy/ — i

en désignant par F,(.r) le quotient de F(.c) par {x —

De plus (393),

F'(g + ^y/=l)’ F'(g-pv^-i)

Enfin, si l’on réduit A à la forme f* 4- v y/— i (Si), la valeur de B sera évidemment y. — v y/— 1 . Nous pouvons donc écrire , au

'.Il .

a4(j ALGÈBRE.

lieu des fractions simples considérées tout à l’heure.

M et N étant des constantes réelles.

Par conséquent , /« somme des fractions simples corresjxmdant aux facteurs conjugués x — a — x— a + jB — i, est

une fraction qui a pour numérateur un binôme du premier degré, à coefficients réels, et pour dénominateur le trinôme ( x — x)’ -f- S’. -i04. Facteurs imaginaires multiples. — De

i\f) + ^ , ./ilfl ,

on conclut , absolument comme au n“ 3üo ;

.f{jf) M^,x 4- N,

[(x - x)'*4-^=]'’F,(x) [(x-- «)■' + fe’jc

■^ [( X - X )» -4 fi’ (x - a )’ 4- ^ F, (x j ’

Mp, Np, Mp, , Np, ,. . . étant des coefficients réels.

405. Calcul des coefficients. — On l’effectuera comme au n“ 396 ; c’est-à-dire qu’après avoir multiplié les deux membres de l’égalité (8) par [(.c— x)’-+- ^’]''F,(x), on prendra les p— i premières dérivées ( * ) en négligeant le terme

et , dans les p équations ainsi formées , on fera x = x 4- p y^— i : celte substitution fournira érpiations, d’où l’on conclura, successivement, :\Ip, Np, puis Mp,, Np,, puis Mp,, Np j, Ordi-

a,iii i ti;e);i , ee c.ilcul sera très-prolixe.

-iOG. Jpidication. — Soit VsT^r — , — xr- ,■ rv

(*) Il os< bien enleinlii ijne si ;• = 1, IVf;iditc ( S) sutlira.

AUiERllH. ï47

fraction doit sc décoiniioser en

Pour (létorminer les numérateurs des trois [)rcniières fractions simples, nous aurons d’abord

I = M' (.r ) ( x’-i- -c -f- i)’ + etc.,

en posant

4 (x) = (M, X + N, ) (x’+i )'-f- (MjX + Nj ) ) -p "4- Njj puis, en prenant les deux premières dérivées,

O = 9. 'f ( X ) (x’4- X + 1 ) ( y. X -f I ) + M ' (x) ( x’+ ,r -p i P-| etc. , O = 24 {.r)[-ji(x’ + x4- i) + (2.r+ I)’]

4- 4 '»■ ' ( -c ) ( x’+ .r + 1 ) ( 2 X 4- 1 ) -P 4 ■" (x) (.r»4- x 4- 1 )’4- e te . D’ailleurs