Problème. — Trouver sin- c/ cos - x, conuai.smut sin x

De

sin’ -X cos - Æ- = I , 2 2

2 sm - X cos -X — sm x, 2 2

on conclut, en ajoutant ou retranchant,

( sm - .r + cos - .r I = i 4- sm x,

I sin -X — cos - .r I = i — sin x :

puis, par un calcul très-simple,

i-x = ±i(y/i + sinj;±v/i — si»-r).

sm ■

cos

- -T = ± - ( 4- sin X q: \/i — sin x) .

Ainsi , l’on obtient quatre valeurs pour chacune des deux inconnues ; en outre, les valeurs de sin - x sont les mêmes que celles

de cos-.r (*). Les formules (i) et (a) peuvent servir à expliquer ce résultat.

Effectivement, la formule (i) donne

sin -.r = sin I A TT -t--a ) = ± sin - a, a \ a / a

ros - .r = cos 1 A- 7r -| — a ) = ± cos - a ; a \ a / a

el la formule (a),

sin -X = sin 1

A TT H a 1

1 = ± COS - a,

cos - X = cos (

1 = ± sin - a.

8. Remarque. — Quand l’arc x est donné, ou que l’on connaît seulement des limites entre lesquelles il est compris , le problème précédent cesse d’être indéterminé. Soient, par exemple,

sin X = - } et - < X < TT.

On conclut, de ces dernières inégalités,

sm-a:>-v2, cos-x<-va» cos-x>o.

Par conséquent , les seules valeurs admissibles sont

sin^j; = i(v/7-4-i)» cos^x = i (v^ — i).

Les formules considérées dans les n“ 5 et 6 donnent lieu à des remarques du même genre.

(*) Cependant , si l’on adopte une de ces valeurs pour sin - * , on doit

rejeter cos - 1 = sin i j: , et cos - jr = — sin - x- : sans quoi l’on n'aurait 22 2 2

plus sin - X cos - X = I .