COS 6o
008— = 008 i8“= Wio 4- a v^5. (8)
lo 4
IS. Si l’on applique aux équations (3) et (4) les formules du n“ 7, on obtient , en prenant convenablement les signes des radicaux ,
sin — = sin i5" = 7 (/6 — , (o)
cos-^ = cosi5“= i(/6-l-v/â), (lo)
sin-^=sin 9“ = ^ (v/io -t- — a (ii)
cos— = cos Q°— 3(/ÏÔ V^-t- 2 V^5 — V^). (la)
46. Enfin, la combinaison des valeurs (4), (8), (9), (10) donne, à cause de
sin(i8°— i5°) = sin ifi^cos i5°— cos 18° sin i5", etc. : sin^= sin3“= -j^[(\/5 — i) (y/ë-l-v/a) — (v/6— v^)n/io-|-2v/5]i cos^= cos3“= -^[(v/S — i) (v/6— v/2)-l-(\/6-f-v/2) S/ io4-2v/5]>
ou
sin3°= [(v^5 — i) (y/Ô-t-v/â) —2 '^ï{S + \^5) (2— v^)]j (i3)
eos3°= [(y/S — i) (v'ë— y/2) 4-2V^2 (54-/5) (2+ /3)]' (i4)
Si l’on part de ces dernières formules , on pourra , de proche en proche, calculer les sinus et cosinus des arcs de 6", 9°, ,
45" (*). Nous engageons le lecteur à effectuer ce calcul.
il. De tangrt = on conclut, par les valeurs précédentes, tang^ = tang6o"= v^, (i5)
tang| = tang45"= I, (16)
tang^= lang3o"= (17)
tang-^ = tangi8“= (|8)
® Vio + 2
tang^= tangi5° = ^^^ 5 (19)
tang ^ = tangg" et enfin
tangf = lang3-= (/i-) V3+.)- W(5+,/5)
On rendra les quatre dernières expressions beaucoup plus commodes , si on les transforme en d’autres ayant leurs dénominateurs rationnels. C’est là encore un utile exercice.
^ + (ao)
v/5 + i-l-t/io — 2/5
Trisection d’un arc ou d’un angle.
18. Problème I. — Trouver sin^.r, connaissant sinx. Los formules relatives à l’addition des arcs donnent sin3« = sin(2«-i-rt) = sin2rtr.cosfl-l-cos2fl.sin«,
(*) L’arc de 3° est le plus petit de ceux qui sont représentes par un nombre entier de degrés, et dont on puisse calculer, sous forme finie, les lignes trigonumétriquos.
ou sin 3rt = asinrt cos«.cosa (i — 2 sin’a) sina,
ou enfin sin 3a = 3 sin a — 4 sin’ a.
Par suite , en remplaçant 3 a par x , nous aurons
sin’ ^ .r — 7 sin - .r H- - sina^ = O ,
ou, en posant sin.r = /, sin ^ .r =j,
Cette équation du troisième degré a pour racines /es sinus des tiers de tous les arcs qui répondent au sinus donné l.
19. Discussion. — D’après les formules (i) et {2) du chapitre I", on a, en désignant par a le plus petit de ces arcs,
. 24'Tr-l-a . (2X-f-l)îr — a
y = sin , y = sin
En donnant à k les valeurs o, i, 2, 3, 4i--m et négligeant les multiples de la circonférence, on obtiendra donc
J = Sin ^ ,
y = sm — ^ J
y = sm — j — 5
jr = sm 3 ,
. Ltz a.
y = Sin — ^ 5
y = sm 3 — >
J = Sin 3,
J = sm 3 J
etc.
etc.
Par suite , toutes les valeurs de j se réduisent à
ji-, = sin7, j,= sin-7— ,
r, = — sin
Ces valeurs sont généralement distinctes, en sorte que l’équation ( 1 ) a ses trois racines réelles et inégales. Cependant, si l’on avait
^ = ~3~ ’ f’pst-à-dire “ = ^ ' les deux racines r, et j» j devien-
(iraient égaies. Dans ce cas,
