BC = FC' + (CC'- BB

d’où

BC = ÂB'VÂtÿ- 2AB'.AC'cos A-f (CC' - BB')’.

Mais

BC = (cord. nf— 4sin^^rt = 2(1 — cosrt);

et , quelle que soit la forme du triangle sphérique ,

AB'= sine, AC'= sinf>, BB'= i — cose, CC'= i — co%(> (*). Donc

2(1 — cos a) = sin’c + sin’f» — 2sinc sini cos À4-(cos6 — cosc)’, ou cosa = cos^i cosc 4- sini sine cos A. (i )

32. Remarque. — D’après la manière dont la relation fondamentale (i) a été démontrée, on voit qu’elle a lieu pour un triangle sphérique quelconque : les relations qui en seront déduites auront donc le même degré de généralité.

33. Au moyen d’une permutation tournante, on conclut, de l’équation (i),

cosA = cosc cosrt + sine sin« cosB, (2) cx)s r. = cos a cos Z) 4- sin rt sin b cos C. { 3 )

Relation entre deux côtés et les deux angles opposés.

34. Pour obtenir une relation entre a, Z>, A, B, il suffit d’éliminer c entre les équations (i) et (2). Cette élimination peut être faite comme il suit :

Après avoir isolé les termes contenant cos A et cos B, ajoutons et retranchons membre à membre ; nous aurons

(cosrt 4- cosZ») (i — cosc) = sinc(sinZ» cos A 4- sino cosB),

(cos fl — cos 6) (i 4- cosc) = sin c ( sin 6 cos A — sin a cos B).

Ces deux nouvelles équations, étant multipliées membre à membre, donnent, après la suppression du facteur commun sin’c (** ),

cos’ fl — cos’ h = sin’ a cos’ A — sin’ « cos’ B ;

(*) B.. Trig.. 18.

(*’•) Le cOté c étant compris entre o et ;t, son sinus est difTérent de zéro.

puis, successivement,

sin’ b — sin’ « = sin’ b — sin’ b sin’ A — sin’ n sin* a sin^ B ,

sih* A sin’B sin’ a ~ sin’ b

Nous aurons donc, en observant que les éléments d’un triangle sphérique sont inférieurs à i8o degrés.

sin A sin B sin C sinrt ~ sinè ~ sine

Ainsi, dans tout triangle sphérique, les sinus des angles sont proportionnels aux sinus des côtés opposés.

35. Remarque. — La suite de rapports égaux (4) équivaut à deux équations distinctes.

Relation entre deux oôtéi, l’angle compris ^ et l’un des deux angles opposés.

36. Dans l’équation (i), remplaçons cosc par sa valeur (3) et

sine par sinC (équat. 4) : c sera éliminé, et nous aurons

une relation entre les deux côtés a, b, l’angle compris C, et l’angle A opposé h a.

Cette relation est

cos « = cos è ( cos fl cos 6 -H sin fl sin i cos C ) + sin ^ sin C cos A .

Pour la simplifier, faisons passer le terme cos a cos’è dans le premier membre , et divisons les deux membres par sin a sin 6 ; nous aurons

cos fl sin A , „ , sin C cosA

— : = C0S6 cos C H ; — I — ?

sin fl sin A

ou cotflsinô = cotAsinC-4- cosècosC. (5)

37. Cette relation en donne cinq autres. En effet, si l’on change d’abord è en c et C en B, on obtient

cotfl sine = cotA sinB -+- cosc cosB. (6)

Des permutations tournantes donnent ensuite

col b sin c = cot B sin A + cos c cos A , ( 7 )

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TRIGONOMÉTRIE, cotftsinrt = cotBsinC + cosrtCOsC, (8) cote sinrt = cote sinB + cosrt cosB, (9) cote sin A = cote sinA + cosi cosA. (lo) (*)

Relatioii entre trois angles et un côté.

38. En appliquant la relation fondamentale au triangle supplémentaire du triangle donné , on a

cos (tt— A)= cos (tt— B) cos (tt— e )-l- sin (tt— B) sin (tt— e) cos (tt —a), ou CO8 A = — cos B cos e + sin B sin e cos a. ( n )

Un changement de lettres donne ensuite

cos B = — cos e cos A + sin e sin A cos â, (12) cosC = — cos A COS B -I- sin A sinBcosc. (i3)

39, Remarque. — Les quatorze équations (i), (2),..., (i3) renferment toute la résolution des triangles sphériques.