HÉSOLOTION DES TRIANGLES RECTANGLES

40. Si nous supposons A = 90° dans les relations (i), (4), (6),. . ., nous -obtiendrons les six formules principales suivantes, lesquelles sont propres au calcul logarithmique ;

cosfl = cosè COSC, (14} sin/; = sin « sin B, (i5) tang c = tang n cos B, (16) tangè = sine tangB, (17) cosrt = cotB cote, (18)

COS B = sin C cos />. {19)

(*) Malgré le défaut de symétrie de ces équations, on les retrouve asseA aisément si l’on observe : 1® que le premier membre et le premier terme du second membre sont de la forme cotxsin, le premier produit étant relatif ii deux côtés , le second h deux angles; 2® que les deux co-

•il. Ces six équations constituent autant de théorèmes, que Ton peut énoncer ainsi :

Dam tout triangle sphérique rectangle :

Le cosinus de L hypoténuse est égal au produit des cosinus des deux autres côtés;

1°. Le sinus d’un côté de l’angle droit est égal au sinus de l’hypoténuse , multiplié par le sinus de l’angle opposé au premier côté ;

3". La tangente d’un côté de l’angle droit est égale à la tangente de V hypoténuse , multipliée par le cosinus de l’angle compris ;

4°. La tangente d’un des deux côtés de l’angle droit est égale au sinus de Vautre côté , multiplié par la tangente de l’angle opposé au premier côté;

5°. Le cosinus de l’hypoténuse est égal au produit des cotangent es des angles wljaccnts;

6°. Le cosinus d'un des deux angles adjacents à l’hypoténuse est égal au sinus de l’autre angle , multiplié par le cosinus du côté opposé au premier angle.

42. Remarques. — \. D’après l’équation (i4), cos fl, cos^>, cosc sont positifs, ou bien un de ces cosinus est positif, les deux autres étant négatifs. Donc :

Dans tout triangle sphérique rectangle, les côtés moindres cpt’un quadrant sont en nombre impair (*).

II. Semblablement, à cause de l’équation {17) : un côté de l’angle droit et l’angle opposé sont de même espèce, c’est-à-dire tous deux plus petits ou tous deux plus grands que 1 80 degrés.

43. Formule empirique de Mauduit. — Les équations ci-dessus, ou celles qu’on en déduit par un changement de lettres, expriment chacune la relation qui existe entre les deux éléments connus et l’élément cherché. Or, si Ton fait abstraction de l’angle droit A,

tangentes se correspondent; 3° que le dernier terme du second membre est é^al au produit des cosinus des arcs dont les sinus entrent déjà dans la formule.

(*) Cependant, si a = ^, un des côtés de l’angle droit, au moins, égale Et si t = ^, l’hypoténuse égale aussi

on pourra toujours faire le tour du triangle , de manière que ces trois éléments soient , ou continus , ou nlternntifx. Cela posé , toutes les équations dont il s’agit sont comprises dans la formule empirique suivante :

, . , . 1 r/t’A- A7// rf’/TA-.V ALTER.NKS,

intcrmemmre = produit < , ,,

' I des cot d arcs co.NTlGi s;

eos arc

seulement , en appliquant ce théorème, on doit avoir soin de remplacer chaque côté de l'angle droit par son complément (*).

Par exemple , si l’on veut calculer c, B, connaissant « et C, on fera le tour du triangle, dans le sens indiqué par la flèche; et l’on aura, successivement,

cos

C = cotrt cot ~ (**);

« = sin(^-fe) sin^^-c^ (***);

3“. cos« = cotB cote {****);

ce qui est exact.

Cas douteux. — Quand on veut résoudre un triangle rectangle, connaissant un côté de l'angle droit et l'angle opposé, le problème peut être impossible, et il peut admettre deux solutions ou une seule solution. En effet, les équations (i5), (17), (19) donnant

sin 6 tang h . „ cos B

sin a =

sinB

smc =

tang B

sinC = > 1

cos b

il est d’abord visible qu’il n’y aura aucune solution si quelqu’une des quantités sin«, sine, sinC surpasse l’unité, et qu’il y en

(*) A l'énoncé précédent, que nous copions textuellement dans le

Cours de Mathématiques pures de Francœur, notre savant et regrettable

maître, on peut substituer cette phrase purement mnémotechnique :

, ( des cot contieuès,

cos moren — produit \ , . .

( des sin non contigus.

(**) Éléments contigus.

(***) Eléments alternatifs.

C****) Éléments contigus.

28o trigonométrie.

aura une seule si ^ = R ( * ). D’un autre côté , si l’on a sin b < sin B, on pourra prendre

a = OL ou a = Tz — a,

a étant compris entre o et et déterminé par sina= (“)•