NOTIONS SUR LES NOMBRES INCOMMENSURABLES
21. Lorsque deux grandeurs n’ont aucune commune mesure, on dit qu’elles sont incommensurables. Par exemple, la diagonale AC et le côté AB d'un carré sont deux droites incommensurables entre elles.
En effet, si AC et AB avaient une plus grande commune mesure , contenue m fois dans AC et n fois dans AB, il en résulterait
AC = AB-^ ou AC’=AB'^^'y-
Mais, dans le triangle rectangle isocèle ABC, AC’ = 2AB^; donc,, par l’égalité précédente.
Cette égalité, dans laquelle m et n sont deux nombres premiers entre eux, est absurde , car une puissance <ptclcompte d’une fraction irréductible est une fraction irréductible [II., .irith., 128); donc, Ole.
La diagonale AC étant incommensurable avec le côté AB, il s’ensuit que, si l’on prend cette dernière droite pour unité do longueur, la ligne AC ne pourra être exprimée ni par un nombre entier, ni par un nombre fractionnaire : à cause de AC’= ^AB’, on convient de représenter la diagonale par le symbole \fi.
±2. Toutes les expressions numériques non réductibles à des nombres entiers ou fractionnaires, peuvent toujours être regardées comme représentant des grandeurs incommensurables avec la
grandeur prise pour unité : telles sont v^,
Par
une extension de l’idée attachée au mot nombre, on dit que ces expressions sont des nombres incommensurables ou irrationnels.
23. Comme il serait souvent très-difiieile do construire les droites représentées i>ar des nombres incommensurables donnés (*), il est important de définir ceux-ci d’une manière purement arithmétique. Nous prendrons pour exemple V irrationnelle très-simple ■ mais nos raisonnements s’appliquent à des incommensurables quelconques.
Remarquons, avant tout, que si l’on disait : on appelle racine carrée de 2 un nombre qui, multiplié par lui-méme, reproduit 2, on commettrait un cercle vicieux; car la définition do la multi-
plication par v/â exige, préalablement, la définition de Pour arriver à cette dernière définition, multiplions et divisons le nombre 2 par les puissances successives de loo (**), en y comprenant l’unité; nous obtiendrons cette suite indéfinie de fractions, toutes égales à 2,
1 100 100 lOO'’ 100*
Prenons, par défaut et par excès, la racine carrée do chaque numérateur, et divisons-la par la racine carrée du dénominateur
(*) Vo^es, sur ce point, la Géométrie analytique.
(•*) Au lieu dos puissances successives de 100, on pourrait prendre les puissances successives d’un carré quelconque, ou luônic les carrés des nombres naturels. Los raisoniieineuts et les calculs sont plus simples quand on adopte la inarclic indiquée dans le texte.
ao ALGÈBRE,
correspoiulanl ; nous formerons ces deux nouvelles suites I, 1,4, i,4i, i,4i4, i,4i4u,..., (A)
Or, évidemment:
i". Les termes de la suite (A) vont en augmentant; a“. Les termes de la suite (B) vont en diminuant;
3". Les différences entre tes termes correspondants des deux suites diminuent indéfiniment, de manière à pouvoir devenir moindres que tout nombre donné.
Puisqu’il en est ainsi , et que d’ailleurs les carres des termes contenus dans la ligne (A) ou dans la ligne (B) ont {xyur limite commune le nombre a (*), ces termes ont eux-mêmes une limite, comprise entre i et a, entre i,4 et i,5, entre i,4i et i,42,-.-; celte limite est ce qu’on appelle racine carrée de a. Ainsi, la racine carrée de a est la limite des nombres dont les carrés ont pour limite a (**).
Les raisonnements précédents peuvent être rendus plus clairs encore jwir la construction suivante :
Sur une droite sny prenons, à partir d’un point fixe O, les distances OA, OA', OA",..., proportionnelles aux nombres i; i,4; 1 ,4i;. . .; et les distances OB, OB', OB",. . ., proportionnelles aux nombres a; i,5; i,4a;...: lesdistances AB, A'B', A"B",..., pro-
( * ) On a effectivement
2 — (1,4)’ <(l,5)’ — (l,4)‘. ou 2-(i,4)‘ <0,1. 2,}),
2 — (1,40* <(1,42)* -(1,40*. ou a — (i,40’ <0,01.2,83,
2— (l,4'4)*< (l,4'0*— («,4l4)*, ou 2 — (l,4l4)’<0,00l.2,82y, etc.;
et, à plus forte raison ,
2 — (l,4)’<0,3, 2 — (l ,40* < o,o3, 2 — (i,4i4)’<o,oo3, etc.
("*) Nous avons proposé, il y a déjà bien des .aiinccs, cctlc définition ; repoussée d’.ibord , elle a été adoptée depuis.
portionnelles elles-mêmes à i;o,i;o,oi,..., auront zéro pour limite. Par conséquent, les points A, A', A",..., d’une part, et les points B, B', B",..,, de l’autre, s’approchent indéfiniment d’un certain point-limite L, situé entre A et B, entre A' et B', entre
A" et B", Autrement dit, les grandeurs OA, OA', OA",. et
les grandeurs OB, OB', OB",. . ., mesurées par des nombres dont li-s carrés ont pour limite 2, ont elles-mêmes jwur limite une grandeur OL que Von représente par y/a.
23. La considération des limites, qui vient de nous conduire à la définition du symbole y/a, permet également de définir toutes les expressions renfermant des incommensurables. Ainsi , y/ 5 est la limite des nombres dont les cubes ont pour limite 5 ( * ); 3 — y/â est la limite des restes qu’on obtiendrait en retranchant de 3 les nombres dont la limite est y/â, etc. En particulier :
Le produit d’un nombre A par un nombre incommensurable B est la limite des produits que Von obtiendrait en multipliant A par les nombres dont la limite est B.
Ainsi l’expression 3 x y'^a représente la limite vers lacpielle tendent les produits
3X1, 3x1,4, 3xi,4i, 3xi,4i4,
On s’assurerait de l’existence de cette limite, en répétant les raisonnements employés ci-dessus.
26. Cette considération des limites prouve encore simplement que les théorèmes démontrés pour des nombres commensurables quelconques, subsistent pour les nombres incommensurables limites des premiers.
Par exemple , le produit de deux facteurs incommensurables, A, B, ne change pas quand on intervertit Vordre de ces facteurs.
Soient , en effet , a, a', a", . . . des nombres commensurables ayant pour limite A, et b, b\ b",. . . des nombres commensurables ayant pour limite B. On a
(*) D’après le numéro précédent, il serait encore plus exact de dire : ^5 représente la limite des grandeurs mesurées par des nombres dont les cubes ont pour limite 5.
Mais, par définition, la limite des premiers membres est A x B, et la limite des seconds membres est B x A. D’ailleurs, une même variable ne peut avoir qu’une limite ; donc
