DEGRÉ
SisottMÎon de l'équation ax*-{-bx-^c — o.
27. Les racines de cette équation sont données par la formule
— b àz \Jb'‘ — \ac
2rt
elles sont réelles et inégales, réelles et égales, ou imaginaires , suivant que le binôme b'^ — ^ac est positif, nul ou négatif.
28. Si , dans la formule générale , on suppose « = o , on trouve
c’est-à-dire
, — h -\-b O . — xb
.V = = - ) JT = = 00 .
.4insi , des deu.\ valeurs de x , qui sont finies et déterminées tant que le coefficient a diffère de zéro , l’une prend la forme indéterminée, et l’autre la forme infinie, quand on suppose « = o. Il est facile de rendre raison de ces deux circonstances , et de trouver, non-seulement la vraie valeur de x', mais encore le signe de .r".
Remarquons d’abord que la discussion dont il s’agit n’aurait pas de sens si elle n’était entendue ainsi : examiner comment varient les racines de Féquation
ax^ bx -\-c = O, { i)
quand le. eoeffieient a, d’abord supposé très-petit, tend vers zéro (*) . (*) Si, dans l’équation (i) , on faisait a = o, on supposant x fui, on
ALGEBRE.
Or, les valeurs générales des deux racines sont
ac —h—\'b^—^ac
•la
ia
i“. Le numérateur de x" se réduit à — ih quand a = o\ donc, quand ce coefficient a est fort petit , x” a pour valeur approchée
— ^ ou — - • Cette fraction , qui augmente indéfiniment ( en
— ma -1 O V
valeur absolue ) si a s’approche de zéro , a le signe de h ou le signe contraire, suivant que a est négatif ou positif. D’ailleurs, avant d’attribuer à la variable a sa valeur limite zéro , on a pu , conformément à l’usage , supposer cette variable jjositwc. Donc , quand le coefficient a, tT abord supposé positif et très-petit, diminue indéfiniment , la seconde racine de réquation (i) croit au delà de toute limite, en conser%<ant un signe contraire h celui de b (à partir d’une certaine valeur de a). C’est ce qu’on exprime en disant que pour a — o, cette seconde racine est infinie, et de signecontraire à b {*).
2". Quant à la racine x\ qui se présente sous la forme - lorsqu’on suppose « = O , une remarque bien simple permet d’en obtenir la vraie valeur ; le numérateur de la fraction —
s’annulant avec a, si Von transforme la fraction de manière h rendre ce numérateur rationnel, il deviendra divisible para (12); conséquemment, avant d’annuler a, on pourra simplifier la valeur
générale de x\ de telle sorte qu’elle ne prenne plus la forme ^ qiiand a = o.
obtiendrait l’équation ix -t- c = o, dont la racine est — cetlo quantité est la limite de x". Quant à x', il n’en reste plus de trace.
(*) Si, avant de faire <i = o, on avait supposé cette variable négative, on devrait dire que la valeur iiifinie de x a le signe de b. Mais, comme une quantité ne peut être positive et négative en mémo temps, il serait absurde de prétendre que l’équation (i) a trois racines dans le cas particulier où le coellicicnt de x' s'annule.
24 ALGKBKE.
Pour fondre lalionncd le numérateur, il suffît de le multiplicu’ par h + \'ü'^ — 4 dc (* )•
, — 4 — Ir 4 dc
~ ‘ia{b + ^>¥^ ^dc) 2« (^4-V^ 4
b }J U‘ — \dc
telle est la forme sous laquelle on peut mettre la valeur générdlc de x'. Supposant d = o, on obtient, pour la vraie valeur de la racine qui semblait indéterminée.
29. Remarque. — lorsque les coeffîcients «, /.>, c sont des fonctions d’une variable r, et que a s’annule pour r — le moyen le plus simple de délerminer la vraie valeur de .r' consiste à remplacer > par l dans l’équation proposée. Par exemple,
donne
, t-^d-J-l- I — V^rT— .>'‘+.>^-4- 3/^4- 4r 4- a).
et cette fraction devient ^ quand r = ± i. Pour éviter une trans-
(*) En effet, la différence des quantités yfh* — t^ac et h, multipliée par leur somme , donne pour produit la différence de leurs carres.
(**) Généralement, si une fraction algébrit/ue dont les deux
termfes ne sont pas rationnels et entiers par rapport à la variable x, de- ▼ient ^ quand on attribue à x une valeur particulière b, on essaxera de
mettre cette fraction sous la forme P et Q désignant des poly-
nOmesqui s'annulent pour x=b, c’est-à-dire des polynômes divisible» par X — b (12). Supprimant ce facteur commun autant de fois que possible, et faisant x=b dans la fraction résultante, on aura la vraie va—
leur de > Pf*ur
formation assez longue, remplaçons ) suceessivcmcnt par ces deux valeurs dans l’équation ; nous trouverons
pour J- = 4-1, x'=o; pour r = — I, x' = — I.
Calcul de» racines de l’équation ax* -f- ix H- c = o , lorsque a est
très-petit.
HO. La formule générale
— b ± J — \ac
art
est évidemment peu propre aux applications, dans le cas où le coeRicient a est fort petit par rapport à b et c. Pour calculer approximativement la valeur do la racine x' qui diffère peu de
— ^ (i28), on peut employer le procédé suivant : l’autre racine •
sera donnée i>ar la formule
rt
