Formules de Dclambrc. — Ges formules , beaucoup moins
TRIGONOMÉTRIE, importantes, que celles de Néper , donnent
sin^(A±B) et cos^(A±:B)
au moyen des quatre derniers éléments du triangle ( * ).
On a sin - ( A ± B) = sin - A cos - B ± sin - B cos - A, 2 ' 2 2 2 2
sm(p — b) sin {p — c)
sin b sin c
cos
donc
si„lB = v/-
^sin P sin (p
sin b sin
^sin [p — c)
sin(/? — a)
sine
sin«
'sin p sin {p
sin r sin a
= /sinf8iD(p-c)
2' ' ^“xsmc Y sm/zsin& ^
sin(/? — a) /sinpsin{j sin c Y ^
sin 6
<^0S , C — b) ± sin(/> — «)];
sine
ou
■ * / * . COSjC .1 I , -,
Sin - ( A + B ) = ■■ ■ - • 2 sin -c.cos-(rt — b),
2 ' sin c 2 2
. 1/1 T> \ cos "2 G . I . . . I
sin - (A — B) = .2 sin - (« — 6 ) cos - r;
2 ' sin e 2 ' ' 2
ou encore
sini(A + B) = ^-îcosj(/<-J), (37) sini(A-B)=''Æ^sini(o-6). (38)
(*) Chacune de ces formules exprimant une relation entre tous les éléments d’un triangle sphérique, il parait assez difficile d’en comprendre l’utilité.
Ou trouve , de la même manière ,
cos- ( A + B ) = ‘U” ^ cos - ( r? + /> ) , (39^ 2 sin-j-r 2
cos- (.A — B) = I *^sin - (a + ^). (40)
2 ' ' sin 2
Applications numériques.
î>9. Problème L — Trouver la distance de deux jMÎnts du globe, eonnaissant leurs latitudes et leurs longitiulcs.
Nous prendrons pour exemple la distance de San-Francisco an eap de Bonne-Espérance.
San-Francisco.. Lat. N : 37"48'3o". — Longit. O : 124“ 48' 26". Cap Lat. S: 33" 56' 3". — Longit. E : 16" 8'2i".
La terre étant supposée sphérique, les méridiens AB, AC passant par les deux lieux considérés B et C, formeront, avec l’arc de grand cercle BC, un triange sphérique dans lequel
i = go" -I- 33" 56' 3" = 1 23" 56' 3",
f = go" 37" 48' 3o" = 52” 1 1 ' 3o".
Appliquant les formules
tangif = cosA tang^>, (24) cos-fl — (*5)
on aura
log(— cos A) = 1,890 1732 log(— tangé) = 0,1720895
logtangï» = 0,0622627 \ = 49“5'35”,2, c--p= 3"5'54",8.
log ( — cos = 1 ,746 820 9 -f-
logcos(c — ÿ) = 1,99936464logcosçp = 1,816 1297 —
log(— cos«) = i,93oo55 8
Pour évaluer en kilomètres la distance a, il suffit de se rappeler que Tare de 90 degrés égale 10000 kilomètres. On trouve ainsr
60. Vérification. — Prenons les analogies de Néper; tang - (B — C) = cot - A — ^r-TT— ; — f »
° 2 ' ' 2 sin Y(6 + c)
tang j (B + C) = col i A
Ungi»= Ungi(4-c)|^il|^>,
vec i(i»- f) = 35“52'i6",5,
logcot-A= 1,54979404- logcoti A = 1,5497940-tlogsin-(/> — c) = 1,7678723 4- logcos-(6 — c)= 1,908 665o4logsin ^{i>4-c) = 1,999751 8— logcos^(64-c) = 2,528943o — logtangi(B— C)= 1,3179145 logtang^(B4-C) = 0,9295160
logtangi (é — ^^) = 1,859207 3 4log sin i (B 4- C) = 1,9970165 4logsini(B — C)= 1,3087241 —
log tang a =0,547 499 7 '
• ifl— 74® 10" 25", 7,'
= i48«2o'5iV4;
comme ci-dessus. ; eç ^
■J.çfo TRIGONOMÉTRIE.
61. Problème II. — La distance de Paris à Rome est de r loo kilomètres ; celle de Paris à Saint-Pétersbourg est dei\&o kilomètres ; de plus, les latitudes de Paris, de Rome et de Saint- Pétersbourg sont , respectivement ,
quelle est la distance de Rome à Saint-Pétersbourg?
Le problème serait ramené à celui qui précède si l’on pouvait déterminer la dijfércnce de longitude entre Saint-Pétersbourg et Rome. A cet effet, soit PARC le quadrilatère sphérique ayant P pour sommets le pôle nord P et les
positions géographiques de Paris, Rome et Saint-Pétersbourg. Dans le triangle APB, on a
V = 90“— 48°5o'49"= 4i” 9' II*)
• P = 90°— 4i“53'52''^ 48“ 6' 8", c=iioo'"'" = 9“ 55' 19";
et , dans le triangle APC ,
Par conséquent , les angles V, qui sont les longitudes de Rome et de Saint-Pétersbourg, comptées de Paris, seront donnés par la formule
2 Y sin/j sin [p — a)
dans laquelle on fera , successivement ,
■ip = 99 10 38
TRIGONOMÉTHIE. mi
logsin 826 8=1,1664209-1logsin 12911 = 2,4139611-!logsin 49 35 19 = 1,881 618 3 — logsin 39 40 o=i,8o5o38 5 —
3,8937252 -=loglang^A= 2,9468626
P — a = 25 53 8 P — b = 4 lo 21 P — c = i5 16 3
logsin 41021 = 2,86188984logsini5i6 3=1,42049354- Iogsin45 1932= i,85i 9387 — logsin 25 53 8 = i,64oo58 8 —
2,790 385 8 ^ = logtang^A= 1,3931929
lA = i‘A'= i3“57'4",3,
Telles sont les latitudes de Rome et de Saint-Pétersbourg {■*), comptées du méridien de Paris. On aura donc, dans le triangle RPC, en conservant les notations habituelles,
Achevant le calcul comme dans le premier problème, on trouve a = 21" 40' 38" = 2 409 kilomètres.
