I. Dans tout triangle sphérique équilatéi'al

cos .4 =

tang y a tanga

on a

II. Dans tout triangle sphérique rectangle, le carré du sinus de la demi-hypoténuse est égal à la somme des produits des carrés des sinus de chaque demi-côté par le carré du cosinus do l’autre demi-côté.

III. Dans tout triangle sphérique rectangle, les carrés des sinus

(*) Ces valeurs ne sont pas tout ù fait exactes.

2ga TRIGONOMÉTRIE,

des côtés sont entre eux comme les sinus des doubles des segments adjacents ( déterminés par la hauteur correspondant à l’hypoténuse).

IV. Dans tout triangle sphérique rectangle , le carré du sinus de la hauteur est au produit des sinus des segments déterminés sur l’hypoténuse, comme le sinus total est au produit des cosinus de ces mêmes segments.

V. Quelle est la relation qui existe entre les trois faces a, b, c

d’un angle trièdre et les angles a, p, 7 formés par une même droite avec les trois arêtes? .

Réjjonse :

sin’ a sin’ « -f- 2 cos a cos p cos 7 — 2 cos b cos c cos p cos 7 -1- sin’ P sin’ i -t- 2 cosô COS7 cos a — 2 cos c cos « cos 7 cos«

-|- sin’7 sin’ c-f- 2 cos c cos a cos P — 2 cos <î cos 6 cos a cosp -i- 2 cos a cos b cos c — 2 = o.

VI. Quelle est la relation qui existe entre les six angles dièdres d’un tétraèdre?

Réponse : Celle qui précède.

VII. Quelles sont les valeurs de l’angle dièdre D dans l’octaèdre régulier, le dodécaèdre régulier et l’icosaèdre régulier?

Réjxnisc :

D = 109“ 28' 16", D= ii6°33'54'', D = 1380 11' 35".

VIII. On sait que les trois hauteurs d’un triangle sphérique se coupent en un même point. Quelles sont, en fonction des côtés du triangle , les valeurs des segments déterminés par ce point sur chacune des hauteurs?

IX. En désignant par T la mesure d’un triangle sphérique, par a, b, c les côtés et par p le demi-périmètre, on a

tâng-T

(Théorème de Simon Lhuilier).