CN“FG

ou

FG

2. Sans qu’il soit nécessaire de multiplier les exemples, nous pouvons indiquer dès à présent les traits caractéristiques des deux méthodes ;

i“. La méthode géométrique, ou méthode des Anciens, suppose une série de constructions qui s’enchaînent les unes aux autres , sans solution de continuité, au moyen des théorèmes de la Géométrie; elle n’emploie aucun calcul, si ce n’est quelques additions, soustractions et proportions.

1°. Dans la méthode algébrique, ou méthode de Viète, on représente par des lettres les longueurs dos lignes, connues ou inconnues, principales ou auxiliaires, qui entrent dans la figure que l’on considère ; on cherche , à l’aide des théorèmes de la Géométrie, à établir des équations entre toutes ces lignes, ou plutôt entre les lettres qui les représentent. Lorsque l’on est arrivé à des équations distinctes, en nombre égal à celui des inconnues, le problème est mis en équation. 11 reste ensuite à résoudre ces érpiations; puis enfin, lorsque cela est possible, à conclure de ces é«]uations, résolues ou même non résolues, des constructions donnant les

ANALYTKjUE. 295

lignes inconnues. Celte troisième partie du problème est appelée fomtrartio/i tlcx valeurs.

3. Des trois parties dont se compose la solution algébrique d’un problème, la deuxième, c’est-à-dire la résolution des écpialions, est exclusivement du ressort de l’Algèbre. Li*s deux autres parties constituent l'Applieatinn de r.-Ugèhre à la Ct'-oniétrie , que l’on désigne ordinairement, mais peut-être à tort, sous le nom de Gêoaiétrie aaalyiapw y et que l’on pourrait, jiour abréger, apiieler Géométrie algébritpte.

4. On ne jx.'ut pas donner de règles fi.xes pour mettre en é<piation un problème : suivant que celui qui en cherche la solution a plus ou moins d’habitude, plus ou moins de sagacité, il prévoit «juelles sont les données et les inconnues qu’il convient d’employer, alin d’arriver au résultat le jilus rapidement |K)ssible. Au contraire, il existe un petit nombre de procédés réguliei-s au moyen desriuels on peut construire toute expression linéaire, rationnelle ou irrationnelle du .second degré. Nous les exposerons avec tout le détail micessairo, ajuxis que nous aurons démontré les princijies sur lesquels repose l’application de ces procédés.

De l’homogénéité.

t)n sait qu’iin polynôme est dit homogène quand il a tous ses termes de môme degtv , c’est-à-dire quand les ex|)o.-anls des lettres contenues dans un terme quclconipio de ce polynôme ont une somme constante. Par exemple, /i‘ — -+- 5^‘ est homo-

gène et du quatrième degré.

I.orsiju’au lieu d’un i>olynôme on considère une fonction quelconque, la règle indiquée dans la définition précédente jieul se trouver en défaut. Elle ne i>ourrait servir à reconnaître si les fonc- .. , , l) tangrt -f- tangô

tions a -I- log «, 75 5 , ^ - sont ou ne sont pas ho-

m — r I — tang « tang b

mogènes. La définition suivante, dans laquelle la première est évidemment comprise, s’applique à tous les cas.

6. Une fonction des quantités a, b, c, . lorsque, ). étant un nombre quelconque,

\b, le,...) = b, c,...)-.

l'e.cpnsanl m est le degré d'homogénéité.

est homogène

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irfi GÉOMÉTRIE

D’après cette définUion , les fonctions

rt' — br 5b\

sin^ + log

sont homogènes, et leurs degrés sont, respectivement, 4, — i, o.

Au contraire , les fonctions n -1- log a, ^

° I — tangrt tango

pas homogènes.

7. Théorème. — Toutes les fois (jue Viuiité de longueur reste arbitraire, chacune des équations du problème doit être homogène.

En effet , chacune de ces équations est la traduction d’un certain théorème de géométrie , exprimant qu’une longueur est égale à la somme de plusieurs longueurs, qu’un rectangle est équivalent à la somme de plusieurs rectangles, etc. A une équation non homogène correspondrait un théorème établissant l’égalité entre des grandeurs d’espèces différentes , ce qui serait absurde.

Par exemple , l’équation cé — ib^ c = 3, dans laquelle a, b, c représentent les rapports entre des droites et une droite quelconque prise pour unité, exprimerait que d’iui cube on n retranché le

double d’un carré, etc.

8. Il est bien évident que si l’on a pris pour unité de longueur une ligne de la figure , les équations du problème pourront cesser d’être homogènes. Ainsi , supposons que l’on prenne pour unité de longueur le côté AB du a triangle ABC et que fl, b représentent les rap-

ports de BC et de AC à AB ; la relation entre \ les trois côtés du triangle et le cosinus de

l’angle A donnera l’équation

fl’= i-\-lê — ai cos A,

laquelle n’est pas homogène.

9. Si , comme cela arrive dans les questions de Physique mathématique , on est conduit à considérer à la fois des grandeurs de natures différentes, telles que des forces, des vitesses, des temps, des longueurs, etc., il faudra que les équations soient homogènes par rapport à chaque espèce de grandeur. Supposons, par exemple, que a, a",..., représentent des longueurs, que <>, !>', représentent des vitesses, que./i /', repré-

sentent des forces, que t, t\ représentent des temps : l’é-

quation

— 3 a' ’ <'7” + 1 rt"’ = O

sera possible ; et , au contraire , l’équation

exprimerait une absurdité.

Si l’on veut s’assurer de ce dernier point, il suffit de mettre l’équation sous la forme

, a' i'' f t' , rn « " f t" „

,,(—3 4, - a'f'^ -Ha 4» -/''=o,

et alors on voit qu’elle répondrait à l’énoncé suivant ;

En multipliant une vitesse par un temps et ajoutant au produit un autre temps, on obtient le même résultat qu'en multipliant une droite par le carré d’une force; ce qui n’a aucun sens (*).

10. Il est bien facile de revenir d’une équation non homogène, obtenue en prenant pour unité une ligne de la figure, à l’équation dans laquelle l’unité serait quelconque. Supposons, en effet, que l’on ait eu à considérer différentes lignes A, B, C,. . ., et que l’on ait pris A pour unité ; soient

et soit c, rf, . . .) = O

l’équation du problème , laquelle peut n’étre pas homogène.

Pour passer au cas général où l’on prendrait pour unité une droite quelconque L, nommons b', c', . . . , les nombres qui me-

(*) On complète quelqucrois l’énoncé du principe de l’homogénéité en disant: l’équation doit être homogène, ou cire la somme de plusieurs équations homogènes. Ce complément nous parait au moins inutile. Il est est assez visible, en effet, que les équations non homogènes

déduites des équations homogènes

= x*-Hr’ = 4>,

ne peuvent pas servir à résoudre ces dernières.

.igS GÉOMÉTRIE

surent alors A , B , C ; nous aurons

Ces valeurs, comparées aux précédentes, donnent

Conséquemment, l’équation transformée sera

ou

en supposant maintenant que les lettres a, 6, d,... représentent les rapports des lignes A, B, C, D,..., à une ligne arbitraire.

Nous voy ons que pour rétablir l'homogénéité dans une équation, il suffit de remplacer chaque longueur par son rapport à la longueur a de la droite qui avait été prise pour unité. On arrive plus rapidement au même résultat si l’on multiplie les divers termes de l’équation par des puissances convenables de a.

H. Observons que si, comme on le fait quelquefois, on représente par une seule lettre, soit une aire, soit un volume, on devra, pour reconnaître si l’équation est homogène, doubler ou tripler les exposants dont cette lettre pourra être affectée, ou , ce qui vaut mieux, on devra remplacer cette aire ou ce volume par une expression telle que ou

12. Le principe de l’homogénéité permet de vérifier à chaque instant, soit les équations du problème, soit les transformations par lesquelles on est obligé de passer pour conclure, de ces équations, les formules définitives. Nous ne saurions trop engager les élèves à en faire constamment l’application.