L’équation

ax"- bx -k-c = O { I )

donne x = — % (a)

et, comme première approximation.

Dans le second membre de l’équation (a), remplaçons j' par sa valeur approchée x^\ nous aurons, comme deuxième approximation ,

Substituons cotte nouvelle valeur dans le second membre do l’équation (a), et négligeons les puissances de a supérieures à la deuxième; nous aurons, comme troisième approximation.

c ac^ n‘c ,

On trouve , semblablement ,

ac‘

Et ainsi de suite ( * ).

32. Application. — Calculer, ai'cc 20 décimales exactes, les racines de P équation aP — io347i.i’4-20i = o.

Dans cet exemple, a = i, b = — 103471, c = 201. Par suite,

1? ^"ïô^ valeur absolue). Il suffira donc, pour obtenir l’approximation demandée, d’employer la formule (5). En effectuant, on trouve

lie* 2,0 1 *

(éc^ 2.201^ ^ b’' ~ io3 471*

La valeur de la première racine est donc , avec 20 décimales exactes ,

x' = 0,001 942 573 56o 441 610 Gîi-

C) Ce procédé, connu sous le nom de méthode des approximations successives, est à peu près le seul que l'on puisse employer pour résoudre certains problèmes d’astronomie. Dans la question actuelle , il serait avantageusement remplacé par le calcul suivant:

La formule du binôme (voir plus loin), étendue au cas où l’exposant est fractionnaire, donne

,r 1 Uac i l.3/4ac\* "l

= -T+ôl-F-j -■•■J

, ac a'c' , a‘c’ a*c*

Donc, en prenant le radical positivement,

, c ae' a^c’ . a‘c*

On a ensuite , avec le mémo degré d’approximation ,

x" = io3 470,998 057 426 439 558 389 38.

Équations réductibles au second degré.

33. Certaines équations , d’un degré supérieur au deu.\ième , peuvent , par un changement d’inconnue , être ramenées au second degré. Telle est , par exemple , l’équation bicarrée

Si l’on fait

on a, pour déterminer cette nouvelle inconnue, l’équation

d’où

D’ailleurs, à chacune des valeurs de j correspondent, à cause de l’équation {2), deux valeurs de x, égales et de signes contraires. Par conséquent, l’équation (i) a quatre racines, données par la formule

x = ±y^lp± (5)