PROBLÈMES DÉTERMINÉS

31. Après avoir indiqué quelles sont les règles à suivre pour construire les valeurs des inconnues, revenons sur nos pas, et faisons, sur quelques problèmes convenablement choisis, l’application des préceptes indiqués plus haut (2 et 3). Le premier do ces problèmes, dont la mise en équation ne présente aucune difficulté, sera seulement remarquable par la construction à laquelle il conduit; les autres nous donneront lieu de développer diverses remarques , soit sur Pinterj/rétntion des valeurs négatives, soit sur l’importance du choix des inconnues, soit enfin sur ce qu’on appelle la discussion des prvhlèines.

32. Problème I. — Partager un trapèze en parties pmj)ortion~ nelles à des droites données , par des pandUdes aux hases.

Soient, dans le trapèze donné ABCD, A'B', B", .• m les droites

cherchées , lesquelles doivent partager la figure en différentes parties proportionnelles à des longueurs données «/,

m\ ni', Représentons par a, b et h

les deux bases et la hauteur du trapèze. E e"'e'e^b Soient ensuite x, x', x',..., les longueurs des droites A'B', A’ B",..., et r, y, > les hauteurs des trapèzes partiels.

Nous aurons d’abord, en posant ni + /«'-+- /«"-h . . . = s,

(rt-f-x') (^>--4- v') = [a-y b)h,

Exprimons maintenant cpie les points IV, B". B'",..., sont sur

le côté BD du trapèze. Pour cela, menons, par cos divers points et par le sommet I), des parallèles à AU: les triangles BB'E', BB"E",. . ., semblables au triangle BDE, nous donneront

11 est évident que les équations (i) et (2) sont en nombre égal à celui des inconnues x, x', x", . . . , /, y\ >•”, .... Par conséquent, le problème proposé est mis en équation,

33. Pour trouver les valeurs de x, de x\ do x",..., éliminons les

inconnues J, y', y“, Il suffit, pour effectuer cette élimination,

de multiplier la première dos équations (i) par la première des équations (2), puis la deuxième dos équations (1) par la deuxième des équations (2); et ainsi de suite. On obtient immédiatement

fl’ 6’),

fl’ — X ’ = (fl’ — ô’ ),

, m-\-m'-Jrm"

fl’ — J" ’ = 1 ( fl’ — ir ),

et il ne reste plus qu’à construire les valeurs des quantités X, x\ x”,

3i. A cet effet, observons que, dans ces diverses formules, fl’ — ô’, fl’ — x’, fl’ — x'’, . . . , représentent des carrés , dont le premier est connu. Par conséquent, ces formules expriment que les carrés inconnus sont au carré connu dans des rapports donnés. De cette observation résulte la construction suivante, qui ne diffère pas de celle que l’on obtient par des considérations géométriques;

Prenez, sur la demi-circonférence AB, la corde AD"= b\ projetez le point D" en D"', etc. (*).

(") ÉIrnients de Géométrie , page loj.

3io GÉOMÉTRIE

3S. Problème II. — Partager une droite en moyenne et extrême raison (*).

On sait que cet énoncé revient à celui-ci : Partager une droite en deux segments additifs, de manière que l’iui d'eux soit moyen projmrtionnel entre la droite entière et Vautre segment. Et il est manifeste que ce dernier segment est le plus petit des deux.

Soient donc a la droite donnée et x le plus grand segment. L’équation du problème est

jê= a(a~ x), (i)

ou -i- ax — «’ = O.

Cette équation du second degré, ayant son dernier terme négatif, a une racine positive et une racine négative : la racine positive , qui seule peut convenir à la question , a pour valeur

Que l’on emploie cette formule, ou que l’on prenne l’équation (i) non résolue, on retombe toujours sur la construction connue, laquelle, en supposant que AB = « soit la droite donnée , donne AC pour le plus grand segment.

36. Nous venons de dire que la racine positive convient seule à la question proposée. En effet, il est évident à priori ; i“ que le problème proposé est possible ; 2“ que le point inconnu C doit être situé sur la droite donnée et non sur son prolongement; 3° que ce point C ne peut occuper qu’une seule position sur cette droite , pourvu que le segment moyen proportionnel soit celui qui aboutit à l’extrémité A; ce que l’on peut toujours supposer.

Cependant, comme l’équation qui est la traduction de l’énoncé admet une racine négative

(*) Nous avons déjà donné , dans la Trigonométrie, la solution géométrique du problème. Relativement à cette locution : moyenne et cj tréme raison, le lecteur pourra consulter une Note de M. Vincent ( iVoBi'e//« Annales de Mathématiques , tome III, page l).

ANALYTIQUE. 3ii

nous pouvons nous dentander si cette seconde racine , prise positivement, ne répondrait pas à un problème ayant une certaine analogie avec le problème proposé. Pour essayer de découvrir l’énoncé de ce nouveau problème , agissons comme on le fait pour les problèmes purement algébriques [B., Alg., 90), c’est-à-dire changeons, dans l’équation (i), x en — j ; nous obtiendrons ainsi

Or, cette équation (2) est évidemment celle que l’on trouverait, si l’on se proposait la question suivante ; Partager une droite en deux segments soustractifs, de manière <pœ Pan d’eux soit moyen proportionnel entre Ut droite entière et l’autre segment.

Le segmeru moyen ptvportionncl, qui est évidemment plus petit que l’autre, a pour valeur la racine positive de l’équation (2), savoir :

et cette valeur est égale à — x".

37. Soit toujours AB = « la droite donnée ; admettons encore que

le segment moyen proportionnel soit celui qui doit / \ aboutir à l’extrémité A de

/ cette droite. En prenant,

I ' comme tout à l’heure, la

[ perpendiculaire BD = - «,